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Bom dia gostaria de pedir ajuda nesse exercício por favor.

Encontre uma representação em série de potências de (x-1) para f(x)=x ln x.(sugestão :note que x ln x=(x-1)ln x+ ln x).

Obrigada

Primeiro é necessário conhecer a série de potência de [tex3]\ln(x)[/tex3] :
[tex3]\ln(x)=\sum _{n=0}^\infty{(-1)^n (x-1)^{n+1}\over n+1}[/tex3]
Demonstração:

Resposta

[tex3]\ln(1+u)=\ln(1+u)-\ln(1+0)[/tex3]
[tex3]\ln(1+u)=\int\limits_0^u{1\over 1+\psi}d\psi[/tex3]
[tex3]\ln(1+u)=\int\limits_0^u\sum _{n=0}^\infty (-\psi)^n d\psi[/tex3]
[tex3]\ln(1+u)=\int\limits_0^u\sum _{n=0}^\infty (-1)^n\psi^n d\psi[/tex3]
[tex3]\ln(1+u)=\sum _{n=0}^\infty \int\limits_0^u(-1)^n\psi^n d\psi[/tex3]
[tex3]\ln(1+u)=\sum _{n=0}^\infty(-1)^n \int\limits_0^u\psi^n d\psi[/tex3]
[tex3]\ln(1+u)=\sum _{n=0}^\infty(-1)^n\left. \psi^{n+1}\over n+1 \]_0^u [/tex3]
[tex3]\ln(1+u)=\sum _{n=0}^\infty{(-1)^n u^{n+1}\over n+1} [/tex3]
Substituindo [tex3]1+u=x\implies u=x-1[/tex3], temos:
[tex3]\ln(x)=\sum _{n=0}^\infty{(-1)^n (x-1)^{n+1}\over n+1} [/tex3]

Então:
[tex3]x\ln(x)=(x-1)\ln(x)+\ln(x)[/tex3]
Transformando [tex3]\ln(x)[/tex3] em sua série de potência:
[tex3]x\ln(x)=(x-1)\sum _{n=0}^\infty{(-1)^n (x-1)^{n+1}\over n+1}+\sum _{n=0}^\infty{(-1)^n (x-1)^{n+1}\over n+1}[/tex3]
[tex3]x\ln(x)=\sum _{n=0}^\infty{(-1)^n (x-1)^{n+2}\over n+1}+\sum _{n=0}^\infty{(-1)^n (x-1)^{n+1}\over n+1}[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na primeira [tex3]\begin{cases}
n+2=k+1\implies n=k-1 \\
n=0\implies k=1
\end{cases}[/tex3], temos:
[tex3]x\ln(x)=\sum _{k=1}^\infty{(-1)^{k-1} (x-1)^{k+1}\over k}+\sum _{n=0}^\infty{(-1)^n (x-1)^{n+1}\over n+1}[/tex3]
[tex3]x\ln(x)=\sum _{k=1}^\infty{(-1)^{k-1} (x-1)^{k+1}\over k}+\sum _{n=0}^\infty{(-1)^n (x-1)^{n+1}\over n+1}[/tex3]
[tex3]x\ln(x)=\sum _{n=1}^\infty{(-1)^{n-1} (x-1)^{n+1}\over n}+(x-1)+\sum _{n=1}^\infty{(-1)^n (x-1)^{n+1}\over n+1}[/tex3]
[tex3]x\ln(x)=(x-1)+\sum _{n=1}^\infty{(-1)^{n-1} (x-1)^{n+1}\over n}+ {(-1)^n (x-1)^{n+1}\over n+1}[/tex3]
[tex3]x\ln(x)=(x-1)+\sum _{n=1}^\infty\[{(-1)^{n-1} \over n}+ {(-1)^n \over n+1}\](x-1)^{n+1}[/tex3]
[tex3]x\ln(x)=(x-1)+\sum _{n=1}^\infty\[{(-1)^{n-1}(n+1) + (-1)^nn \over n(n+1)}\](x-1)^{n+1}[/tex3]
[tex3]x\ln(x)=(x-1)+\sum _{n=1}^\infty(-1)^n\[{(-1)^{-1}(n+1) + n \over n(n+1)}\](x-1)^{n+1}[/tex3]
[tex3]x\ln(x)=(x-1)+\sum _{n=1}^\infty(-1)^n\[{-n-1 + n \over n(n+1)}\](x-1)^{n+1}[/tex3]
[tex3]x\ln(x)=(x-1)+\sum _{n=1}^\infty(-1)^n\[{-1 \over n(n+1)}\](x-1)^{n+1}[/tex3]
[tex3]x\ln(x)=(x-1)+\sum _{n=1}^\infty{(-1)^{n+1} \over n(n+1)}(x-1)^{n+1}[/tex3]

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Representação em serie de potência.

Representação em serie de potência.

Re: Representação em serie de potência.