Escreva o código da expressão fechada da seguinte recorrência
[tex3]\alpha 0 = 4[/tex3]
[tex3]\alpha n = \alpha (n-1) +6n[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Expressão fechada 3 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2020
29
18:56
Re: Expressão fechada 3
Seja [tex3]A(x)[/tex3]
da forma:
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty \alpha_n x^n[/tex3]
Então:
[tex3]A(x)=\alpha_0+\sum_{n=1}^\infty \alpha_n x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=4+\sum_{n=1}^\infty (\alpha_{n-1}+6n) x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=4+\sum_{n=1}^\infty \alpha_{n-1}x^n+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na primeira soma, [tex3]\begin{cases}
n=k+1 \\
n=1\implies k=0
\end{cases}[/tex3], temos:
[tex3]A(x)=4+\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k+1}+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=4+x\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k}+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
Como a variável não altera o valor da soma, então:
[tex3]A(x)=4+xA(x)+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
[tex3]A(x)-xA(x)=4+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
[tex3]A(x)(1-x)=4+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
Pra esta segunda, podemos utilizar o seguinte artifício:
[tex3]{1\over1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n[/tex3]
[tex3]{d\over dx}\({1\over1-x}\)={d\over dx}\sum_{n=0}^\infty x^n[/tex3]
[tex3]{1\over(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}~~~~~(I)[/tex3]
[tex3]{x\over(1-x)^2}=x\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}[/tex3]
[tex3]{x\over(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^{n}[/tex3]
O termo [tex3]n=0[/tex3] é nulo, então podemos considerar [tex3]n\ge1[/tex3] :
[tex3]{x\over(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n}[/tex3]
Logo:
[tex3]A(x)(1-x)=4+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
[tex3]A(x)(1-x)=4+{6x\over(1-x)^2}[/tex3]
[tex3]A(x)={4\over 1-x}+{6x\over(1-x)^3}[/tex3]
[tex3]A(x)={4\over 1-x}+{6x-6+6\over(1-x)^3}[/tex3]
[tex3]A(x)={4\over 1-x}+{6x-6\over(1-x)^3}+{6\over(1-x)^3}[/tex3]
[tex3]A(x)={4\over 1-x}-6\cdot {1-x\over(1-x)^3}+{6\over(1-x)^3}[/tex3]
[tex3]A(x)={4\over 1-x}-6\cdot {1\over(1-x)^2}+{6\over(1-x)^3}[/tex3]
O primeiro termo é o resultado da soma de P.G. infinita, o segundo é o resultado da soma [tex3](I)[/tex3] e para o terceiro utilizaremos o seguinte artificio, retomando [tex3](I)[/tex3] :
[tex3]{1\over(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}[/tex3]
[tex3]{d\over dx}\({1\over(1-x)^2}\)={d\over dx}\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}[/tex3]
[tex3]{2\over(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^{n-2}[/tex3]
[tex3]{6\over(1-x)^3}=3\sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^{n-2}[/tex3]
Assim, teremos:
[tex3]A(x)={4\over 1-x}-6\cdot {1\over(1-x)^2}+{6\over(1-x)^3}[/tex3]
[tex3]A(x)=4\sum_{n=0}^\infty x^{n}-6\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}+3\sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^{n-2}[/tex3]
Podemos ver que o termo [tex3]n=0[/tex3] é nulo nas duas últimas somas e que o termo [tex3]n=1[/tex3] é nulo na última, logo:
[tex3]A(x)=4\sum_{n=0}^\infty x^{n}-6\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}+3\sum_{n=2}^\infty n(n-1)x^{n-2}[/tex3]
Fazendo mudança de variáveis (vou deixar de tarefa), chegaremos no seguinte resultado:
[tex3]A(x)=4\sum_{n=0}^\infty x^{n}-6\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^{n}+3\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)x^{n}[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty 4 x^{n}-6(n+1)x^{n}+3(n+2)(n+1)x^{n}[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty \big[4 -6(n+1)+3(n+2)(n+1)\big]x^n[/tex3]
[tex3]\sum_{n=0}^\infty \alpha_n x^n=\sum_{n=0}^\infty \big[4 -6(n+1)+3(n+2)(n+1)\big]x^n[/tex3]
Comparando coeficientes, temos:
[tex3]\alpha_n =4 -6(n+1)+3(n+2)(n+1)[/tex3]
[tex3]\alpha_n =4 +3n+3n^2[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty \alpha_n x^n[/tex3]
Então:
[tex3]A(x)=\alpha_0+\sum_{n=1}^\infty \alpha_n x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=4+\sum_{n=1}^\infty (\alpha_{n-1}+6n) x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=4+\sum_{n=1}^\infty \alpha_{n-1}x^n+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na primeira soma, [tex3]\begin{cases}
n=k+1 \\
n=1\implies k=0
\end{cases}[/tex3], temos:
[tex3]A(x)=4+\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k+1}+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=4+x\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k}+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
Como a variável não altera o valor da soma, então:
[tex3]A(x)=4+xA(x)+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
[tex3]A(x)-xA(x)=4+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
[tex3]A(x)(1-x)=4+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
Pra esta segunda, podemos utilizar o seguinte artifício:
[tex3]{1\over1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n[/tex3]
[tex3]{d\over dx}\({1\over1-x}\)={d\over dx}\sum_{n=0}^\infty x^n[/tex3]
[tex3]{1\over(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}~~~~~(I)[/tex3]
[tex3]{x\over(1-x)^2}=x\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}[/tex3]
[tex3]{x\over(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^{n}[/tex3]
O termo [tex3]n=0[/tex3] é nulo, então podemos considerar [tex3]n\ge1[/tex3] :
[tex3]{x\over(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n}[/tex3]
Logo:
[tex3]A(x)(1-x)=4+6\sum_{n=1}^\infty n x^n[/tex3]
[tex3]A(x)(1-x)=4+{6x\over(1-x)^2}[/tex3]
[tex3]A(x)={4\over 1-x}+{6x\over(1-x)^3}[/tex3]
[tex3]A(x)={4\over 1-x}+{6x-6+6\over(1-x)^3}[/tex3]
[tex3]A(x)={4\over 1-x}+{6x-6\over(1-x)^3}+{6\over(1-x)^3}[/tex3]
[tex3]A(x)={4\over 1-x}-6\cdot {1-x\over(1-x)^3}+{6\over(1-x)^3}[/tex3]
[tex3]A(x)={4\over 1-x}-6\cdot {1\over(1-x)^2}+{6\over(1-x)^3}[/tex3]
O primeiro termo é o resultado da soma de P.G. infinita, o segundo é o resultado da soma [tex3](I)[/tex3] e para o terceiro utilizaremos o seguinte artificio, retomando [tex3](I)[/tex3] :
[tex3]{1\over(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}[/tex3]
[tex3]{d\over dx}\({1\over(1-x)^2}\)={d\over dx}\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}[/tex3]
[tex3]{2\over(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^{n-2}[/tex3]
[tex3]{6\over(1-x)^3}=3\sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^{n-2}[/tex3]
Assim, teremos:
[tex3]A(x)={4\over 1-x}-6\cdot {1\over(1-x)^2}+{6\over(1-x)^3}[/tex3]
[tex3]A(x)=4\sum_{n=0}^\infty x^{n}-6\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}+3\sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^{n-2}[/tex3]
Podemos ver que o termo [tex3]n=0[/tex3] é nulo nas duas últimas somas e que o termo [tex3]n=1[/tex3] é nulo na última, logo:
[tex3]A(x)=4\sum_{n=0}^\infty x^{n}-6\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}+3\sum_{n=2}^\infty n(n-1)x^{n-2}[/tex3]
Fazendo mudança de variáveis (vou deixar de tarefa), chegaremos no seguinte resultado:
[tex3]A(x)=4\sum_{n=0}^\infty x^{n}-6\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^{n}+3\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)x^{n}[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty 4 x^{n}-6(n+1)x^{n}+3(n+2)(n+1)x^{n}[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty \big[4 -6(n+1)+3(n+2)(n+1)\big]x^n[/tex3]
[tex3]\sum_{n=0}^\infty \alpha_n x^n=\sum_{n=0}^\infty \big[4 -6(n+1)+3(n+2)(n+1)\big]x^n[/tex3]
Comparando coeficientes, temos:
[tex3]\alpha_n =4 -6(n+1)+3(n+2)(n+1)[/tex3]
[tex3]\alpha_n =4 +3n+3n^2[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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