Escreva o código da expressão fechada da seguinte recorrência
[tex3]\alpha o = 1[/tex3]
[tex3]\alpha 1 = 2[/tex3]
[tex3]\alpha n = 8(an-1) + 9 (an-2)[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Expressão Fechada Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2020
28
20:02
Re: Expressão Fechada
Boa noite!
[tex3]=\frac{3}{10}\cdot 9^{n}+\frac{7}{10}\cdot (-1)^n[/tex3]
[tex3]=\frac{3}{10}\cdot 9^{n}+\frac{7}{10}\cdot (-1)^n[/tex3]
Out 2020
29
04:15
Re: Expressão Fechada
Fazendo por funções geradoras. Seja [tex3]A(x)[/tex3]
tal que:
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\sum_{n=2}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+\sum_{n=2}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+\sum_{n=2}^\infty (8\alpha_{n-1}+9\alpha_{n-2})x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-1}x^n+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na primeira soma, [tex3]\begin{cases}
n=k+1 \\
n=2\implies k=1
\end{cases}[/tex3], teremos:
[tex3]A(x)=1+2x+8\sum_{k=1}^\infty \alpha_{k}x^{k+1}+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\sum_{n=1}^\infty \alpha_{k}x^{k}+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(\alpha_0x^0-\alpha_0x^0+\sum_{n=1}^\infty \alpha_{k}x^{k}\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(-\alpha_0x^0+\sum_{n=0}^\infty \alpha_{k}x^{k}\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Como a variável de índice não importa para o valor final, temos que:
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(-1+A(x)\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x-8x+8xA(x)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na soma remanescente, [tex3]\begin{cases}n=k+2 \\ n=2\implies k=0\end{cases}[/tex3], teremos:
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k+2}[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9x^2\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k}[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9x^2A(x)[/tex3]
[tex3]A(x)-8xA(x)-9x^2A(x)=1-6x[/tex3]
[tex3]A(x)(1-8x-9x^2)=1-6x[/tex3]
[tex3]A(x)={1-6x\over 1-8x-9x^2}[/tex3]
[tex3]A(x)={1-6x\over (x+1)(1-9x)}[/tex3]
Separando estas duas por frações parciais, temos:
[tex3]A(x)={-{7\over10}\over x+1}+{{3\over10}\over 1-9x}[/tex3]
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot{1\over 1-9x}-{7\over10}\cdot{1\over x+1}[/tex3]
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot{1\over 1-9x}-{7\over10}\cdot{1\over 1-(-x)}[/tex3]
Podemos reconhecer ambos como somas de P.G's infinitas:
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot\sum_{n=0}^\infty(9x)^n-{7\over10}\cdot\sum_{n=0}^\infty(-x)^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty{3\over10}(9x)^n-{7\over10}(-x)^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty\[{3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n\]x^n[/tex3]
[tex3]\sum_{n=0}^\infty \alpha _nx^n=\sum_{n=0}^\infty\[{3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n\]x^n[/tex3]
Comparando coeficientes, temos:
[tex3]\alpha _n={3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\sum_{n=2}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+\sum_{n=2}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+\sum_{n=2}^\infty (8\alpha_{n-1}+9\alpha_{n-2})x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-1}x^n+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na primeira soma, [tex3]\begin{cases}
n=k+1 \\
n=2\implies k=1
\end{cases}[/tex3], teremos:
[tex3]A(x)=1+2x+8\sum_{k=1}^\infty \alpha_{k}x^{k+1}+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\sum_{n=1}^\infty \alpha_{k}x^{k}+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(\alpha_0x^0-\alpha_0x^0+\sum_{n=1}^\infty \alpha_{k}x^{k}\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(-\alpha_0x^0+\sum_{n=0}^\infty \alpha_{k}x^{k}\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Como a variável de índice não importa para o valor final, temos que:
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(-1+A(x)\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x-8x+8xA(x)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na soma remanescente, [tex3]\begin{cases}n=k+2 \\ n=2\implies k=0\end{cases}[/tex3], teremos:
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k+2}[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9x^2\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k}[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9x^2A(x)[/tex3]
[tex3]A(x)-8xA(x)-9x^2A(x)=1-6x[/tex3]
[tex3]A(x)(1-8x-9x^2)=1-6x[/tex3]
[tex3]A(x)={1-6x\over 1-8x-9x^2}[/tex3]
[tex3]A(x)={1-6x\over (x+1)(1-9x)}[/tex3]
Separando estas duas por frações parciais, temos:
[tex3]A(x)={-{7\over10}\over x+1}+{{3\over10}\over 1-9x}[/tex3]
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot{1\over 1-9x}-{7\over10}\cdot{1\over x+1}[/tex3]
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot{1\over 1-9x}-{7\over10}\cdot{1\over 1-(-x)}[/tex3]
Podemos reconhecer ambos como somas de P.G's infinitas:
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot\sum_{n=0}^\infty(9x)^n-{7\over10}\cdot\sum_{n=0}^\infty(-x)^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty{3\over10}(9x)^n-{7\over10}(-x)^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty\[{3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n\]x^n[/tex3]
[tex3]\sum_{n=0}^\infty \alpha _nx^n=\sum_{n=0}^\infty\[{3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n\]x^n[/tex3]
Comparando coeficientes, temos:
[tex3]\alpha _n={3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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