Escreva o código da expressão fechada da seguinte recorrência
[tex3]\alpha o = 1[/tex3]
[tex3]\alpha 1 = 2[/tex3]
[tex3]\alpha n = 8(an-1) + 9 (an-2)[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Expressão Fechada Tópico resolvido
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baltuilhe
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Out 2020
28
20:02
Re: Expressão Fechada
Boa noite!
[tex3]=\frac{3}{10}\cdot 9^{n}+\frac{7}{10}\cdot (-1)^n[/tex3]
[tex3]=\frac{3}{10}\cdot 9^{n}+\frac{7}{10}\cdot (-1)^n[/tex3]
-
AnthonyC
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Out 2020
29
04:15
Re: Expressão Fechada
Fazendo por funções geradoras. Seja [tex3]A(x)[/tex3]
tal que:
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\sum_{n=2}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+\sum_{n=2}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+\sum_{n=2}^\infty (8\alpha_{n-1}+9\alpha_{n-2})x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-1}x^n+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na primeira soma, [tex3]\begin{cases}
n=k+1 \\
n=2\implies k=1
\end{cases}[/tex3], teremos:
[tex3]A(x)=1+2x+8\sum_{k=1}^\infty \alpha_{k}x^{k+1}+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\sum_{n=1}^\infty \alpha_{k}x^{k}+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(\alpha_0x^0-\alpha_0x^0+\sum_{n=1}^\infty \alpha_{k}x^{k}\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(-\alpha_0x^0+\sum_{n=0}^\infty \alpha_{k}x^{k}\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Como a variável de índice não importa para o valor final, temos que:
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(-1+A(x)\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x-8x+8xA(x)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na soma remanescente, [tex3]\begin{cases}n=k+2 \\ n=2\implies k=0\end{cases}[/tex3], teremos:
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k+2}[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9x^2\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k}[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9x^2A(x)[/tex3]
[tex3]A(x)-8xA(x)-9x^2A(x)=1-6x[/tex3]
[tex3]A(x)(1-8x-9x^2)=1-6x[/tex3]
[tex3]A(x)={1-6x\over 1-8x-9x^2}[/tex3]
[tex3]A(x)={1-6x\over (x+1)(1-9x)}[/tex3]
Separando estas duas por frações parciais, temos:
[tex3]A(x)={-{7\over10}\over x+1}+{{3\over10}\over 1-9x}[/tex3]
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot{1\over 1-9x}-{7\over10}\cdot{1\over x+1}[/tex3]
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot{1\over 1-9x}-{7\over10}\cdot{1\over 1-(-x)}[/tex3]
Podemos reconhecer ambos como somas de P.G's infinitas:
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot\sum_{n=0}^\infty(9x)^n-{7\over10}\cdot\sum_{n=0}^\infty(-x)^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty{3\over10}(9x)^n-{7\over10}(-x)^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty\[{3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n\]x^n[/tex3]
[tex3]\sum_{n=0}^\infty \alpha _nx^n=\sum_{n=0}^\infty\[{3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n\]x^n[/tex3]
Comparando coeficientes, temos:
[tex3]\alpha _n={3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\sum_{n=2}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+\sum_{n=2}^\infty \alpha _nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+\sum_{n=2}^\infty (8\alpha_{n-1}+9\alpha_{n-2})x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-1}x^n+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na primeira soma, [tex3]\begin{cases}
n=k+1 \\
n=2\implies k=1
\end{cases}[/tex3], teremos:
[tex3]A(x)=1+2x+8\sum_{k=1}^\infty \alpha_{k}x^{k+1}+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\sum_{n=1}^\infty \alpha_{k}x^{k}+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(\alpha_0x^0-\alpha_0x^0+\sum_{n=1}^\infty \alpha_{k}x^{k}\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(-\alpha_0x^0+\sum_{n=0}^\infty \alpha_{k}x^{k}\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Como a variável de índice não importa para o valor final, temos que:
[tex3]A(x)=1+2x+8x\(-1+A(x)\)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1+2x-8x+8xA(x)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9\sum_{n=2}^\infty \alpha_{n-2}x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na soma remanescente, [tex3]\begin{cases}n=k+2 \\ n=2\implies k=0\end{cases}[/tex3], teremos:
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k+2}[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9x^2\sum_{k=0}^\infty \alpha_{k}x^{k}[/tex3]
[tex3]A(x)=1-6x+8xA(x)+9x^2A(x)[/tex3]
[tex3]A(x)-8xA(x)-9x^2A(x)=1-6x[/tex3]
[tex3]A(x)(1-8x-9x^2)=1-6x[/tex3]
[tex3]A(x)={1-6x\over 1-8x-9x^2}[/tex3]
[tex3]A(x)={1-6x\over (x+1)(1-9x)}[/tex3]
Separando estas duas por frações parciais, temos:
[tex3]A(x)={-{7\over10}\over x+1}+{{3\over10}\over 1-9x}[/tex3]
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot{1\over 1-9x}-{7\over10}\cdot{1\over x+1}[/tex3]
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot{1\over 1-9x}-{7\over10}\cdot{1\over 1-(-x)}[/tex3]
Podemos reconhecer ambos como somas de P.G's infinitas:
[tex3]A(x)={3\over10}\cdot\sum_{n=0}^\infty(9x)^n-{7\over10}\cdot\sum_{n=0}^\infty(-x)^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty{3\over10}(9x)^n-{7\over10}(-x)^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty\[{3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n\]x^n[/tex3]
[tex3]\sum_{n=0}^\infty \alpha _nx^n=\sum_{n=0}^\infty\[{3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n\]x^n[/tex3]
Comparando coeficientes, temos:
[tex3]\alpha _n={3\over10}9^n-{7\over10}(-1)^n[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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