Ensino Superior ⇒ Feixe harmônico . Tópico resolvido

[geobson]

Na figura, AB=BC, AM= MC. AB, AP, AQ e AC formam um feixe harmônico. Calcule "x".

Resposta

---

45°

[geobson]

.............up..................

[Loreto]

O que seria um feixe harmônico? Fui pesquisar achei confuso.
Seria apenas segmentos proporcionais?

[geobson]

Loreto, mais ou menos . tudo se resume. Em uma reta transversal que corta quatro retas que partem de um ponto . os segmentos formados pela tansversal com as quatro que convergem num ponto formam uma proporcão especial .
https://olimpedia.fandom.com/pt-br/wiki ... _Projetiva

[Loreto]

Entendi. Obrigado pela explicação, pelo visto não é geometria euclidiana.

[Ittalo25]

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Recebi essa resolução de um peruano, o problema é que nunca vi essa fórmula deduzida para a bissetriz interna e nem sei como chegar nela

[tex3]\frac{2cos(45^o)}{BR} = \frac{1}{BP}+\frac{1}{BA}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2cos(45^o)}{BR} = \frac{1}{BP}+\frac{1}{BA}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{2}}{BR} = \frac{1}{BP}+\frac{1}{BA}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{2}}{BR} = \frac{1}{BP}+\frac{1}{BA}[/tex3]

Já viu essa fórmula antes? FelipeMartin

B,P,Q e C é quarteto harmônico, então pela fórmula de Descartes:

[tex3]\frac{2}{BQ} = \frac{1}{BP}+\frac{1}{BC} = \frac{1}{BP}+\frac{1}{BA}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{BQ} = \frac{1}{BP}+\frac{1}{BC} = \frac{1}{BP}+\frac{1}{BA}[/tex3]

Aí é só igualar as duas:

[tex3]\frac{2}{BQ} = \frac{\sqrt{2}}{BR}\rightarrow \begin{cases}
BQ = 2k \\
BR = k\sqrt{2}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{BQ} = \frac{\sqrt{2}}{BR}\rightarrow \begin{cases}
BQ = 2k \\
BR = k\sqrt{2}
\end{cases}[/tex3]

Lei dos cossenos em BRQ:

[tex3]RQ^2 = (2k)^2 + (k\sqrt{2})^2 - 2\cdot 2k \cdot k\sqrt{2} \cdot cos(45^o)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]RQ^2 = (2k)^2 + (k\sqrt{2})^2 - 2\cdot 2k \cdot k\sqrt{2} \cdot cos(45^o)[/tex3]

[tex3]RQ = k\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]RQ = k\sqrt{2}[/tex3]

E portanto BRQ é isósceles, [tex3]x = 45^o [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 45^o [/tex3]

[FelipeMartin]

.....==============...............

[FelipeMartin]

Ittalo25, SEI SIM.

Ele calculou o comprimento da bissettriz com a fórmula [tex3]2A =ab \sen C [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2A =ab \sen C [/tex3]

. Eu já fiz isso em outro tópico!

Seja [tex3]d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d[/tex3]

o tamanho da bissetriz no vértice [tex3]C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C[/tex3]

de um triângulo:

[tex3]ad \sen (\frac{ C}2) + bd \sen (\frac{C}2) = ab \sen (C) \iff d = \frac{2 \cos (\frac{C}2) ab}{a+b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ad \sen (\frac{ C}2) + bd \sen (\frac{C}2) = ab \sen (C) \iff d = \frac{2 \cos (\frac{C}2) ab}{a+b}[/tex3]

que é a fórmula que ele usou!

Abraço!

[Ittalo25]

ótimo, obrigado......