Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear - transformação linear Tópico resolvido

[RaphaelBr]

Olá pessoal, estou com dúvida em resolver a seguinte questão:

Encontrar uma transformação linear G:[tex3]R^{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^{4}[/tex3]

→[tex3]R^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^{3}[/tex3]

cujo núcleo seja gerado por (1, 2, 3, 4) e (0, 1, 1, 1).

[AnthonyC]

Bem, a parte de "criar" a transformação não tem muita explicação, você só vai testando combinações até que alguma dê o que você queria. No nosso caso, queremos uma transformação [tex3]G[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]G[/tex3]

, tal que [tex3]G(1,2,3,4)=(0,0,0)[/tex3] e [tex3]G(0,1,1,1)=(0,0,0)[/tex3]. Uma que eu pensei foi [tex3]G(x,y,z,w)=(w-x-z,0,z-y-x)[/tex3]. Pode testar e vê que ela satisfaz a condição. Só precisamos agora provar que está é realmente T.L.

Um dada Transformação [tex3]T:V\rightarrow W[/tex3] é dita linear se satisfaz a seguinte propriedade:
[tex3]T(a+\lambda b)=T(a)+\lambda T(b)[/tex3]

Vamos verificar:
[tex3]a=(x_a,y_a,z_a,w_a)[/tex3]
[tex3]b=(x_b,y_b,z_b,w_b)[/tex3]

[tex3]a+\lambda b=(x_a,y_a,z_a,w_a)+\lambda (x_b,y_b,z_b,w_b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+\lambda b=(x_a,y_a,z_a,w_a)+\lambda (x_b,y_b,z_b,w_b)[/tex3]

[tex3]a+\lambda b=(x_a+\lambda x_b,y_a+\lambda y_b,z_a+\lambda z_b,w_a+\lambda w_b) [/tex3]

[tex3]G(a+\lambda b)=G(x_a+\lambda x_b,y_a+\lambda y_b,z_a+\lambda z_b,w_a+\lambda w_b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]G(a+\lambda b)=G(x_a+\lambda x_b,y_a+\lambda y_b,z_a+\lambda z_b,w_a+\lambda w_b)[/tex3]

[tex3]G(a+\lambda b)=(w_a+\lambda w_b-[x_a+\lambda x_b]-[z_a+\lambda z_b],0,z_a+\lambda z_b-[x_a+\lambda x_b]-[y_a+\lambda y_b])[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]G(a+\lambda b)=(w_a+\lambda w_b-[x_a+\lambda x_b]-[z_a+\lambda z_b],0,z_a+\lambda z_b-[x_a+\lambda x_b]-[y_a+\lambda y_b])[/tex3]

[tex3]G(a+\lambda b)=(w_a+\lambda w_b-x_a-\lambda x_b-z_a-\lambda z_b,0,z_a+\lambda z_b-x_a-\lambda x_b-y_a-\lambda y_b)[/tex3]
[tex3]G(a+\lambda b)=(w_a-x_a-z_a+\lambda w_b-\lambda x_b-\lambda z_b,0,z_a-x_a-y_a+\lambda z_b-\lambda x_b-\lambda y_b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]G(a+\lambda b)=(w_a-x_a-z_a+\lambda w_b-\lambda x_b-\lambda z_b,0,z_a-x_a-y_a+\lambda z_b-\lambda x_b-\lambda y_b)[/tex3]

[tex3]G(a+\lambda b)=(w_a-x_a-z_a,0,z_a-x_a-y_a)+(\lambda w_b-\lambda x_b-\lambda z_b,0,\lambda z_b-\lambda x_b-\lambda y_b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]G(a+\lambda b)=(w_a-x_a-z_a,0,z_a-x_a-y_a)+(\lambda w_b-\lambda x_b-\lambda z_b,0,\lambda z_b-\lambda x_b-\lambda y_b)[/tex3]

[tex3]G(a+\lambda b)=(w_a-x_a-z_a,0,z_a-x_a-y_a)+\lambda(w_b- x_b- z_b,0,z_b-x_b-y_b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]G(a+\lambda b)=(w_a-x_a-z_a,0,z_a-x_a-y_a)+\lambda(w_b- x_b- z_b,0,z_b-x_b-y_b)[/tex3]

[tex3]G(a+\lambda b)=G(a)+\lambda G(b)[/tex3]
Assim, está provada como sendo T.L.