Ensino SuperiorOrdem parcial demonstração Tópico resolvido

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Antônioa
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Ordem parcial demonstração

Mensagem não lida por Antônioa »

Seja C o conjunto dos números complexos e sejam x = a + bi e y = c + di em C.

Considere a relação T sobre C definida por: xTy ⇔ a ≤ c e b ≤ d.

1 - Mostre que T é uma relação de ordem parcial sobre C.




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AnthonyC
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Out 2021 26 10:31

Re: Ordem parcial demonstração

Mensagem não lida por AnthonyC »

Definição de relação de ordem parcial:
Uma relação [tex3]xTy[/tex3] num conjunto [tex3]A[/tex3], é uma relação de ordem parcial se satisfaz as seguinte propriedades, [tex3]\forall ~a,b,c\in A[/tex3]:
  • Reflexividade: [tex3]aTa, ~~\forall a\in A[/tex3].
  • Antissimetria: se [tex3]aTb[/tex3] e [tex3]bTa[/tex3], então [tex3]a=b[/tex3].
  • Transitividade: se [tex3]aTb[/tex3] e [tex3]bTc[/tex3], então [tex3]aTc[/tex3].


Sejam [tex3]w,y,z\in\mathbb{C}[/tex3] . Podemos escrever [tex3]w=w_1+w_2i[/tex3] , [tex3]y=y_1+y_2i[/tex3] e [tex3]z=z_1+z_2i[/tex3] . Vamos verificar se nossa relação obedece as propriedades:
  • Reflexividade:
Temos que [tex3]w_1\leq w_1[/tex3] e [tex3]w_2\leq w_2[/tex3] , [tex3]\forall ~~w_1,w_2\in\mathbb{R}[/tex3] . Por definição, temos que [tex3]wTw[/tex3] .
  • Antissimetria:
Seja [tex3]wTy[/tex3] e [tex3]yTw[/tex3] . Por definição, temos que da primeira que [tex3]w_1\leq y_1[/tex3] e [tex3]w_2\leq y_2[/tex3] e da segunda que [tex3]y_1\leq w_1[/tex3] e [tex3]y_2\leq w_2[/tex3] . Como a desigualdade sobre os reais é antissimétrica, temos que [tex3]w_1=y_1[/tex3] e [tex3]w_2=y_2[/tex3] . Por igualdade de complexos, temos que [tex3]w=y[/tex3] .
  • Transitividade:
Seja [tex3]wTy[/tex3] e [tex3]yTz[/tex3] . Por definição, temos que [tex3]w_1\leq y_1[/tex3] e [tex3]w_2\leq y_2[/tex3] da primeira e da segunda [tex3]y_1\leq z_1[/tex3] e [tex3]y_2\leq z_2[/tex3] . Como a inequação é uma operação transitiva, então [tex3]w_1\leq z_1[/tex3] e [tex3]w_2\leq z_2[/tex3] . Logo, [tex3]wTz[/tex3]

Como a relação obedece a todas as propriedades, então ela é uma relação de ordem parcial.



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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