Boa noite peço ajuda nessa questão.
1)Calcule os autovalores e autovetores da matriz,
[tex3]{\begin{pmatrix}
6 &0 &6 \\
-9&-1 &9 \\
-7 &0 &7
\end{pmatrix}} [/tex3]
Ensino Superior ⇒ GAAL autovalores e autovetores
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2020
29
16:14
Re: GAAL autovalores e autovetores
Queremos saber os valores de [tex3]\lambda[/tex3]
e [tex3]\vec v[/tex3]
tal que:
[tex3]A\vec v=\lambda\vec v[/tex3]
Transformando isso em uma equação matricial:
[tex3]A\vec v=\lambda I\vec v[/tex3]
[tex3](A-\lambda I)\vec v=0[/tex3]
Desconsiderando o vetor nulo, para que esta equação resulte em 0 devemos ter:
[tex3]\det(A-\lambda I)=0[/tex3]
[tex3]A-\lambda I={\begin{pmatrix}
6 &0 &6 \\
-9&-1 &9 \\
-7 &0 &7
\end{pmatrix}} -\begin{pmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 &\lambda \\
\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]A-\lambda I={\begin{pmatrix}
6-\lambda &0 &6 \\
-9&-1-\lambda &9 \\
-7 &0 &7-\lambda
\end{pmatrix}}[/tex3]
Perceba que a segunda coluna contém dois 0. Assim, se fizermos o determinante por Laplace teremos:
[tex3]\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)\begin{vmatrix}
6-\lambda & 6 \\
-7 & 7-\lambda \\
\end{vmatrix}[/tex3]
[tex3]\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)([6-\lambda][7-\lambda]+42)[/tex3]
[tex3]\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)(42-13\lambda+\lambda^2+42)[/tex3]
[tex3]\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)(84-13\lambda+\lambda^2)[/tex3]
[tex3]\det(A-\lambda I)=0[/tex3]
[tex3](-1-\lambda)(84-13\lambda+\lambda^2)=0[/tex3]
[tex3]-1-\lambda=0[/tex3] ou [tex3]84-13\lambda+\lambda^2=0[/tex3]
Calculando Determinante na segunda equação, temos:
[tex3]\Delta=(-13)^2-4\cdot1\cdot84[/tex3]
[tex3]\Delta=169-336[/tex3]
[tex3]\Delta=-167<0[/tex3]
Portanto, não temos raízes para a segunda equação. Assim, sobra apenas [tex3]-1-\lambda=0\implies\lambda=-1[/tex3].
Então o único autovalor da matriz é [tex3]-1[/tex3].
Agora, vamos encontrar os autovetores:
[tex3](A-\lambda I)\vec v=0[/tex3]
[tex3](A-(-1) I)\vec v=0[/tex3]
[tex3](A+ I)\vec v=0[/tex3]
[tex3]{\begin{pmatrix}
7 &0 &6 \\
-9&0 &9 \\
-7 &0 &8
\end{pmatrix}}\vec v=0[/tex3]
Como estamos no [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3] , o vetor é da forma:
[tex3](A-\lambda I)\vec v=0[/tex3]
[tex3](A-(-1) I)\vec v=0[/tex3]
[tex3](A+ I)\vec v=0[/tex3]
[tex3]{\begin{pmatrix}
7 &0 &6 \\
-9&0 &9 \\
-7 &0 &8
\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]{\begin{pmatrix}
7x+0\cdot y +6z \\
-9x+0 \cdot y+9z \\
-7x +0 \cdot y+8z
\end{pmatrix}}=0[/tex3]
[tex3]{\begin{pmatrix}
7x +6z \\
-9x+9z \\
-7x +8z
\end{pmatrix}}=0[/tex3]
Como o sistema é impossível, quer dizer que não há autovetores para esta matriz.
[tex3]A\vec v=\lambda\vec v[/tex3]
Transformando isso em uma equação matricial:
[tex3]A\vec v=\lambda I\vec v[/tex3]
[tex3](A-\lambda I)\vec v=0[/tex3]
Desconsiderando o vetor nulo, para que esta equação resulte em 0 devemos ter:
[tex3]\det(A-\lambda I)=0[/tex3]
[tex3]A-\lambda I={\begin{pmatrix}
6 &0 &6 \\
-9&-1 &9 \\
-7 &0 &7
\end{pmatrix}} -\begin{pmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 &\lambda \\
\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]A-\lambda I={\begin{pmatrix}
6-\lambda &0 &6 \\
-9&-1-\lambda &9 \\
-7 &0 &7-\lambda
\end{pmatrix}}[/tex3]
Perceba que a segunda coluna contém dois 0. Assim, se fizermos o determinante por Laplace teremos:
[tex3]\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)\begin{vmatrix}
6-\lambda & 6 \\
-7 & 7-\lambda \\
\end{vmatrix}[/tex3]
[tex3]\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)([6-\lambda][7-\lambda]+42)[/tex3]
[tex3]\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)(42-13\lambda+\lambda^2+42)[/tex3]
[tex3]\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)(84-13\lambda+\lambda^2)[/tex3]
[tex3]\det(A-\lambda I)=0[/tex3]
[tex3](-1-\lambda)(84-13\lambda+\lambda^2)=0[/tex3]
[tex3]-1-\lambda=0[/tex3] ou [tex3]84-13\lambda+\lambda^2=0[/tex3]
Calculando Determinante na segunda equação, temos:
[tex3]\Delta=(-13)^2-4\cdot1\cdot84[/tex3]
[tex3]\Delta=169-336[/tex3]
[tex3]\Delta=-167<0[/tex3]
Portanto, não temos raízes para a segunda equação. Assim, sobra apenas [tex3]-1-\lambda=0\implies\lambda=-1[/tex3].
Então o único autovalor da matriz é [tex3]-1[/tex3].
Agora, vamos encontrar os autovetores:
[tex3](A-\lambda I)\vec v=0[/tex3]
[tex3](A-(-1) I)\vec v=0[/tex3]
[tex3](A+ I)\vec v=0[/tex3]
[tex3]{\begin{pmatrix}
7 &0 &6 \\
-9&0 &9 \\
-7 &0 &8
\end{pmatrix}}\vec v=0[/tex3]
Como estamos no [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3] , o vetor é da forma:
[tex3](A-\lambda I)\vec v=0[/tex3]
[tex3](A-(-1) I)\vec v=0[/tex3]
[tex3](A+ I)\vec v=0[/tex3]
[tex3]{\begin{pmatrix}
7 &0 &6 \\
-9&0 &9 \\
-7 &0 &8
\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]{\begin{pmatrix}
7x+0\cdot y +6z \\
-9x+0 \cdot y+9z \\
-7x +0 \cdot y+8z
\end{pmatrix}}=0[/tex3]
[tex3]{\begin{pmatrix}
7x +6z \\
-9x+9z \\
-7x +8z
\end{pmatrix}}=0[/tex3]
Como o sistema é impossível, quer dizer que não há autovetores para esta matriz.
Última edição: AnthonyC (Ter 29 Set, 2020 16:16). Total de 1 vez.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
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