Ensino SuperiorÁlgebra Linear

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filipe288
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Álgebra Linear

Mensagem não lida por filipe288 »

Boa Noite! Pessoal, gostaria de saber, quais são operadores lineares e como provar? As questões estão no anexo.

Exercícios propostos

1. Quais das seguintes aplicações de [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3] em [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3] são operadores lineares?

a) [tex3]F_1 (x, y, z) = (x-y, x+y, 0);[/tex3]
b) [tex3]F_2 (x,y,z) = (2x - y + z, 0,0);[/tex3]
c) [tex3]F_3 (x,y,z) = (x, x, x);[/tex3]

Última edição: MateusQqMD (Seg 28 Set, 2020 21:44). Total de 1 vez.
Razão: retirar enunciado em forma de imagem (regra 1).



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deOliveira
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Re: Álgebra Linear

Mensagem não lida por deOliveira »

Sejam [tex3]U[/tex3] e [tex3]V[/tex3] espaços vetoriais sobre [tex3]\mathbb R[/tex3] . Uma transformação [tex3]F:U\rightarrow V[/tex3] é dita linear se para todos [tex3]u_1,u_2\in U[/tex3] e para todo [tex3]\alpha\in\mathbb R[/tex3] temos:
[tex3]F(u_1+u_2)=F(u_1)+F(u_2)\\F(\alpha u_1)=\alpha F(u_1)[/tex3] .

Sejam [tex3]u_1,u_2\in\mathbb R^3[/tex3] , [tex3]u_1=(a,b,c)[/tex3] , [tex3]u_2=(x,y,z)[/tex3] , e seja [tex3]\alpha\in\mathbb R[/tex3] .

a) [tex3]F_1(u_1+u_2)=F_1(a+x,b+y,c+z)=(a+x-b-y,a+x+b+y,0)=(a-b,a+b,0)+x-y,x+y,0)=\\F_1(u_1)+F_1(u_2)[/tex3]
[tex3]F_1(\alpha u_1)=F_1(\alpha a,\alpha b,\alpha c)=(\alpha a-\alpha b,\alpha a+\alpha b,0)=\alpha(a-b,a+b,0)=\alpha F(u_1)[/tex3]
[tex3]\therefore\ F_1[/tex3] é um operador linear.

E da mesma forma se prova que nos demais casos também temos operadores lienares.
Agora, quando não for operador linear é necessário que apresente explicitamente um contraexemplo que mostre que uma das condições não é satisfeita.

Por exemplo, considere [tex3]T:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^3[/tex3] dada por [tex3]T(x,y,z)=(x+2,y,z)[/tex3] .
Para provar que [tex3]T[/tex3] não é um operador linera posso apresentar o seguinte contraexemplo [tex3]u=(1,0,0)[/tex3] e [tex3]\alpha=2[/tex3]
[tex3]T(\alpha u)=T(2,0,0)=(4,0,0)\\\alpha T(u)=2T(1,0,0)=2(3,0,0)=(6,0,0)\\\therefore T(\alpha u)\ne\alpha T(u)[/tex3] .

Espero ter ajudado.

Última edição: deOliveira (Ter 29 Set, 2020 17:07). Total de 1 vez.


Matemática é melhor do que contato humano. '-'

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