Boa noite
Poderia me ajudar por favor nessa questão.
1)Identifique a cônica de equação.
41x^2 + 34y^2 − 24xy = 25.
Ensino Superior ⇒ GAAL CÔNICA Tópico resolvido
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Cardoso1979 
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14
17:55
Re: GAAL CÔNICA
Observe
Uma solução:
41x² + 34y² - 24xy = 25
Graficamente:
Vamos efetuar uma rotação [tex3]\alpha [/tex3] do sistema xOy , em torno de O , no sentido anti-horário, para isso basta fazer as mudanças de variáveis: [tex3]\begin{cases}
x=X.cos(\alpha )-Y.sen(\alpha ) \\
y=X.sen(\alpha )+Y.cos(\alpha )
\end{cases}[/tex3]
Temos, então:
[tex3]41.[X.cos(\alpha )-Y.sen(\alpha )]^2+34.[X.sen(\alpha )+Y.cos(\alpha )]^2-24.[X.cos(\alpha )-Y.sen(\alpha )].[X.sen(\alpha )+Y.cos(\alpha ]=25 \ ( I )[/tex3]
Desenvolvendo resulta, que
[tex3]41X^2cos^2(\alpha )+41Y^2sen^2(\alpha )+34X^2sen^2(\alpha )+34Y^2cos^2(\alpha )-14XYcos(\alpha ).sen(\alpha )-24.\{X^2cos(\alpha ).sen(\alpha ) + XY[cos^2(\alpha )-sen^2(\alpha )]-Y^2cos(\alpha ).sen(\alpha )\}=25[/tex3]
Vamos operar apenas com os termos que apresentam o produto XY . São eles:
[tex3]-14XYcos(\alpha ).sen(\alpha )-24XY.[cos^2(\alpha )-sen^2(\alpha )]=[/tex3]
[tex3]-7XYsen(2\alpha )-24XYcos(2\alpha )=-XY.[7sen(2\alpha )+24cos(2\alpha )][/tex3]
Para eliminar o produto XY , impomos que:
[tex3]7sen(2\alpha )+24cos(2\alpha )=0[/tex3]
[tex3]cos (2\alpha )=-\frac{7sen(2\alpha )}{24}[/tex3]
[tex3]cos^2 (2\alpha )=\frac{49sen^2(2\alpha )}{576}[/tex3]
[tex3]cos^2 (2\alpha )=\frac{49-49cos^2(2\alpha )}{576}[/tex3]
[tex3]625cos^2(2\alpha )=49[/tex3]
[tex3]cos (2\alpha) = ± \frac{7}{25} [/tex3]
Qualquer um dos valores de [tex3]cos (2\alpha )[/tex3] resolve o nosso problema. Tomemos : [tex3]cos (2\alpha) = \frac{7}{25} [/tex3]
Então,
[tex3]cos (2\alpha) = \frac{7}{25} [/tex3]
[tex3]2cos^2 (\alpha) - 1= \frac{7}{25} [/tex3]
Desenvolvendo, encontramos:
[tex3]cos (\alpha )=±\frac{4}{5}[/tex3]
Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos
[tex3]sen (\alpha )=±\frac{3}{5}[/tex3] .
Tomemos [tex3]cos (\alpha )=\frac{4}{5}[/tex3] e
[tex3]sen (\alpha )=-\frac{3}{5}[/tex3] .
Obs. Por que eu tomei os valores acima , pois bem , eu havia tomado [tex3]cos (\alpha )=\frac{4}{5}[/tex3] e [tex3]sen (\alpha )=\frac{3}{5}[/tex3] e não resolveu o meu problema, ou seja , NÃO eliminou o produto XY, e o objetivo aqui é justamente eliminar o produto XY.
Substituindo [tex3]cos (\alpha )=\frac{4}{5}[/tex3] e
[tex3]sen (\alpha )=-\frac{3}{5}[/tex3] em ( I ) , temos:
[tex3]41.\left(\frac{4X}{5}+\frac{3Y}{5}\right)^2+34.\left(\frac{4Y}{5}-\frac{3X}{5}\right)^2 - 24.\left(\frac{4X}{5}+\frac{3Y}{5}\right).\left(\frac{4Y}{5}-\frac{3X}{5}\right) = 25[/tex3]
Desenvolvendo resulta em
50X² + 25Y² = 25
[tex3]\frac{X^2}{\frac{25}{50}}+\frac{Y^2}{\frac{25}{25}} = 1[/tex3]
Portanto,
[tex3]\frac{X^2}{\frac{1}{2}}+Y^2= 1[/tex3] ou 2X² + Y² = 1 , trata-se de uma elipse e tem como gráfico ( após a rotação no sentido anti-horário )
Nota
Não sei se efetuar uma translação seria mais prático, por pura preguiça não tentei
Excelente estudo!
Uma solução:
41x² + 34y² - 24xy = 25
Graficamente:
- MSP23891adi13b9ba97i85600004b1ca3412gge58ab.gif (4.64 KiB) Exibido 1522 vezes
Vamos efetuar uma rotação [tex3]\alpha [/tex3] do sistema xOy , em torno de O , no sentido anti-horário, para isso basta fazer as mudanças de variáveis: [tex3]\begin{cases}
x=X.cos(\alpha )-Y.sen(\alpha ) \\
y=X.sen(\alpha )+Y.cos(\alpha )
\end{cases}[/tex3]
Temos, então:
[tex3]41.[X.cos(\alpha )-Y.sen(\alpha )]^2+34.[X.sen(\alpha )+Y.cos(\alpha )]^2-24.[X.cos(\alpha )-Y.sen(\alpha )].[X.sen(\alpha )+Y.cos(\alpha ]=25 \ ( I )[/tex3]
Desenvolvendo resulta, que
[tex3]41X^2cos^2(\alpha )+41Y^2sen^2(\alpha )+34X^2sen^2(\alpha )+34Y^2cos^2(\alpha )-14XYcos(\alpha ).sen(\alpha )-24.\{X^2cos(\alpha ).sen(\alpha ) + XY[cos^2(\alpha )-sen^2(\alpha )]-Y^2cos(\alpha ).sen(\alpha )\}=25[/tex3]
Vamos operar apenas com os termos que apresentam o produto XY . São eles:
[tex3]-14XYcos(\alpha ).sen(\alpha )-24XY.[cos^2(\alpha )-sen^2(\alpha )]=[/tex3]
[tex3]-7XYsen(2\alpha )-24XYcos(2\alpha )=-XY.[7sen(2\alpha )+24cos(2\alpha )][/tex3]
Para eliminar o produto XY , impomos que:
[tex3]7sen(2\alpha )+24cos(2\alpha )=0[/tex3]
[tex3]cos (2\alpha )=-\frac{7sen(2\alpha )}{24}[/tex3]
[tex3]cos^2 (2\alpha )=\frac{49sen^2(2\alpha )}{576}[/tex3]
[tex3]cos^2 (2\alpha )=\frac{49-49cos^2(2\alpha )}{576}[/tex3]
[tex3]625cos^2(2\alpha )=49[/tex3]
[tex3]cos (2\alpha) = ± \frac{7}{25} [/tex3]
Qualquer um dos valores de [tex3]cos (2\alpha )[/tex3] resolve o nosso problema. Tomemos : [tex3]cos (2\alpha) = \frac{7}{25} [/tex3]
Então,
[tex3]cos (2\alpha) = \frac{7}{25} [/tex3]
[tex3]2cos^2 (\alpha) - 1= \frac{7}{25} [/tex3]
Desenvolvendo, encontramos:
[tex3]cos (\alpha )=±\frac{4}{5}[/tex3]
Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos
[tex3]sen (\alpha )=±\frac{3}{5}[/tex3] .
Tomemos [tex3]cos (\alpha )=\frac{4}{5}[/tex3] e
[tex3]sen (\alpha )=-\frac{3}{5}[/tex3] .
Obs. Por que eu tomei os valores acima , pois bem , eu havia tomado [tex3]cos (\alpha )=\frac{4}{5}[/tex3] e [tex3]sen (\alpha )=\frac{3}{5}[/tex3] e não resolveu o meu problema, ou seja , NÃO eliminou o produto XY, e o objetivo aqui é justamente eliminar o produto XY.
Substituindo [tex3]cos (\alpha )=\frac{4}{5}[/tex3] e
[tex3]sen (\alpha )=-\frac{3}{5}[/tex3] em ( I ) , temos:
[tex3]41.\left(\frac{4X}{5}+\frac{3Y}{5}\right)^2+34.\left(\frac{4Y}{5}-\frac{3X}{5}\right)^2 - 24.\left(\frac{4X}{5}+\frac{3Y}{5}\right).\left(\frac{4Y}{5}-\frac{3X}{5}\right) = 25[/tex3]
Desenvolvendo resulta em
50X² + 25Y² = 25
[tex3]\frac{X^2}{\frac{25}{50}}+\frac{Y^2}{\frac{25}{25}} = 1[/tex3]
Portanto,
[tex3]\frac{X^2}{\frac{1}{2}}+Y^2= 1[/tex3] ou 2X² + Y² = 1 , trata-se de uma elipse e tem como gráfico ( após a rotação no sentido anti-horário )
- MSP6923a4hdai94e75d940000562f88i939cc9f88.gif (3.74 KiB) Exibido 1522 vezes
Nota
Não sei se efetuar uma translação seria mais prático, por pura preguiça não tentei
Excelente estudo!
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Jan 2021
12
09:17
Re: GAAL CÔNICA
Analisando bem aqui a pergunta, o autor está pedindo somente para identificar a cônica 41x² + 34y² - 24xy - 25 = 0. Então , procederemos da seguinte maneira:
Dada a equação
[tex3]Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+ F=0[/tex3]
Classificação:
[tex3][Acos^2(\alpha )+Bsen (\alpha ).cos (\alpha )+Ccos^2(\alpha )].[Asen^2(\alpha )-Bsen(\alpha ).cos (\alpha )+Csen^2(\alpha )]\begin{cases}
> 0 \ tipo \ elíptico \\
= 0 \ tipo \ parabólico \\
< 0 \ tipo \ hiperbólico
\end{cases}[/tex3]
Como 41x² - 24xy + 34y² - 25 = 0, segue que , A = 41 , B = - 24 e C = 34 .
Por outro lado, como visto na primeira solução encontramos [tex3]cos^2(\alpha )=\frac{16}{25}[/tex3] , [tex3]sen^2(\alpha )=\frac{9}{25}[/tex3] , [tex3]sen(\alpha ) = \frac{3}{5} [/tex3] e [tex3]cos(\alpha ) = \frac{4}{5} [/tex3] substituindo esses valores na expressão [tex3][Acos^2(\alpha )+Bsen (\alpha ).cos (\alpha )+Ccos^2(\alpha )].[Asen^2(\alpha )-Bsen(\alpha ).cos (\alpha )+Csen^2(\alpha )][/tex3] , vem;
[tex3]\left(41.\frac{16}{25}-24.\frac{3}{5}.\frac{4}{5} + 34.\frac{16}{25}\right).\left(41.\frac{9}{25}+24.\frac{3}{5}.\frac{4}{5} + 34.\frac{9}{25}\right)[/tex3]
Desenvolvendo, resulta,
[tex3]\left(\frac{912}{25}\right).\left(\frac{963}{25}\right) > 0[/tex3] .
Portanto, a cônica 41x² - 24xy + 34y² - 25 = 0 trata-se de uma elipse.
Obs. Óbvio que existe outra maneira de se identificar uma cônica.
Nota
Agora, caso ele pedisse a forma canônica da cônica
41x² + 34y² - 24xy - 25 = 0, aí sim , você iria proceder da maneira que eu fiz na primeira solução
Excelente estudo!
Dada a equação
[tex3]Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+ F=0[/tex3]
Classificação:
[tex3][Acos^2(\alpha )+Bsen (\alpha ).cos (\alpha )+Ccos^2(\alpha )].[Asen^2(\alpha )-Bsen(\alpha ).cos (\alpha )+Csen^2(\alpha )]\begin{cases}
> 0 \ tipo \ elíptico \\
= 0 \ tipo \ parabólico \\
< 0 \ tipo \ hiperbólico
\end{cases}[/tex3]
Como 41x² - 24xy + 34y² - 25 = 0, segue que , A = 41 , B = - 24 e C = 34 .
Por outro lado, como visto na primeira solução encontramos [tex3]cos^2(\alpha )=\frac{16}{25}[/tex3] , [tex3]sen^2(\alpha )=\frac{9}{25}[/tex3] , [tex3]sen(\alpha ) = \frac{3}{5} [/tex3] e [tex3]cos(\alpha ) = \frac{4}{5} [/tex3] substituindo esses valores na expressão [tex3][Acos^2(\alpha )+Bsen (\alpha ).cos (\alpha )+Ccos^2(\alpha )].[Asen^2(\alpha )-Bsen(\alpha ).cos (\alpha )+Csen^2(\alpha )][/tex3] , vem;
[tex3]\left(41.\frac{16}{25}-24.\frac{3}{5}.\frac{4}{5} + 34.\frac{16}{25}\right).\left(41.\frac{9}{25}+24.\frac{3}{5}.\frac{4}{5} + 34.\frac{9}{25}\right)[/tex3]
Desenvolvendo, resulta,
[tex3]\left(\frac{912}{25}\right).\left(\frac{963}{25}\right) > 0[/tex3] .
Portanto, a cônica 41x² - 24xy + 34y² - 25 = 0 trata-se de uma elipse.
Obs. Óbvio que existe outra maneira de se identificar uma cônica.
Nota
Agora, caso ele pedisse a forma canônica da cônica
41x² + 34y² - 24xy - 25 = 0, aí sim , você iria proceder da maneira que eu fiz na primeira solução
Excelente estudo!
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