Resposta
GABARITO: [tex3]y=\sqrt{3}x+2[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Assíntotas oblíquas Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2020
26
20:49
Assíntotas oblíquas
Calcule as assíntotas da curva dada por [tex3]y=2+\sqrt{3x^2+1}[/tex3]
GABARITO: [tex3]y=\sqrt{3}x+2[/tex3]
Minha dúvida nessa questão foi com relação ao gabarito. Achei [tex3]y=\sqrt{3}x[/tex3]
somente
GABARITO: [tex3]y=\sqrt{3}x+2[/tex3]
Set 2020
26
21:53
Re: Assíntotas oblíquas
Seria interessante se você colocasse o que você fez também.
A ideia da assíntota é que para [tex3]x\to \infty[/tex3] , a função se aproxima de uma reta. No caso das assíntotas oblíquas, tem sabe-se que ela será da forma [tex3]y= ax+b[/tex3] .
Daí,
[tex3]\lim_{x\to \infty}y=\lim_{x\to \infty}f(x)[/tex3]
[tex3]\lim_{x\to \infty} ax+b=\lim_{x\to \infty}2+\sqrt{3x^2+1}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\to \infty} a+\not\frac bx=\lim_{x\to \infty}\not\frac 2x+\frac{\sqrt{3x^2+1}}{x}[/tex3]
[tex3]a=\sqrt3[/tex3]
Determinando o termo independente:
[tex3]\lim_{x\to \infty} ax+b=\lim_{x\to \infty}2+\sqrt{3x^2+1}[/tex3]
[tex3]b=\lim_{x\to \infty}2+\sqrt{3x^2+1}-\sqrt3x[/tex3]
Para valor de x muito grandes, [tex3]\sqrt{3x^2+1} \approx \sqrt{3x}[/tex3] porque [tex3]3x^2>>1[/tex3] .
Daí,
b=2
Verificando se há outra assíntota:
Vamos ver agora se há assíntota para [tex3]-\infty[/tex3]
[tex3]b=\lim_{x\to -\infty}2+\sqrt{3x^2+1}-\sqrt3x[/tex3]
[tex3]b\to \infty[/tex3]
Não existe.
Portanto, existirá apenas uma assíntota oblíquo e ela tem equação [tex3]y=\sqrt{3}x+2[/tex3]
A ideia da assíntota é que para [tex3]x\to \infty[/tex3] , a função se aproxima de uma reta. No caso das assíntotas oblíquas, tem sabe-se que ela será da forma [tex3]y= ax+b[/tex3] .
Daí,
[tex3]\lim_{x\to \infty}y=\lim_{x\to \infty}f(x)[/tex3]
[tex3]\lim_{x\to \infty} ax+b=\lim_{x\to \infty}2+\sqrt{3x^2+1}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\to \infty} a+\not\frac bx=\lim_{x\to \infty}\not\frac 2x+\frac{\sqrt{3x^2+1}}{x}[/tex3]
[tex3]a=\sqrt3[/tex3]
Determinando o termo independente:
[tex3]\lim_{x\to \infty} ax+b=\lim_{x\to \infty}2+\sqrt{3x^2+1}[/tex3]
[tex3]b=\lim_{x\to \infty}2+\sqrt{3x^2+1}-\sqrt3x[/tex3]
Para valor de x muito grandes, [tex3]\sqrt{3x^2+1} \approx \sqrt{3x}[/tex3] porque [tex3]3x^2>>1[/tex3] .
Daí,
b=2
Verificando se há outra assíntota:
Vamos ver agora se há assíntota para [tex3]-\infty[/tex3]
[tex3]b=\lim_{x\to -\infty}2+\sqrt{3x^2+1}-\sqrt3x[/tex3]
[tex3]b\to \infty[/tex3]
Não existe.
Portanto, existirá apenas uma assíntota oblíquo e ela tem equação [tex3]y=\sqrt{3}x+2[/tex3]
Ciclo Básico - IME
Set 2020
26
23:25
Re: Assíntotas oblíquas
Trecho do meu desenvolvimento:
[tex3]b=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x)-ax] =\lim_{x \rightarrow \infty}[2+\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{3}x][/tex3]
Pegando somente a parte da expressão sem o limite (para facilitar)
[tex3][(2+\sqrt{3x^2+1})-(\sqrt{3}x)].\frac{[(2+\sqrt{3x^2+1})+(\sqrt{3}x)]}{[(2+\sqrt{3x^2+1})+(\sqrt{3}x)]}[/tex3]
[tex3]=\frac{(2+\sqrt{3x^2+1})^{2}-(\sqrt{3}x)^{2}}{(2+\sqrt{3x^2+1})+(\sqrt{3}x)}[/tex3]
[tex3]=\frac{4+4.\sqrt{3x^2+1}+3x^2+1-3x^2}{2+\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3}x}[/tex3]
[tex3]=\frac{4.\sqrt{3x^2+1}+5}{2+\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3}x}[/tex3]
Logo, [tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}[2+\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{3}x]=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{4.\sqrt{3x^2+1}+5}{2+\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3}x}[/tex3]
Ao dividir o numerador e numerador por x, tenho que [tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{4.\sqrt{3x^2+1}+5}{2+\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3}x}=0[/tex3]
[tex3]b=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x)-ax] =\lim_{x \rightarrow \infty}[2+\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{3}x][/tex3]
Pegando somente a parte da expressão sem o limite (para facilitar)
[tex3][(2+\sqrt{3x^2+1})-(\sqrt{3}x)].\frac{[(2+\sqrt{3x^2+1})+(\sqrt{3}x)]}{[(2+\sqrt{3x^2+1})+(\sqrt{3}x)]}[/tex3]
[tex3]=\frac{(2+\sqrt{3x^2+1})^{2}-(\sqrt{3}x)^{2}}{(2+\sqrt{3x^2+1})+(\sqrt{3}x)}[/tex3]
[tex3]=\frac{4+4.\sqrt{3x^2+1}+3x^2+1-3x^2}{2+\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3}x}[/tex3]
[tex3]=\frac{4.\sqrt{3x^2+1}+5}{2+\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3}x}[/tex3]
Logo, [tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}[2+\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{3}x]=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{4.\sqrt{3x^2+1}+5}{2+\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3}x}[/tex3]
Ao dividir o numerador e numerador por x, tenho que [tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{4.\sqrt{3x^2+1}+5}{2+\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3}x}=0[/tex3]
Set 2020
27
15:15
Re: Assíntotas oblíquas
Você errou na parte final
O jeito mais fácil de ver é dividindo por x, que é equivalente ao argumento de [tex3]x>>\forall a \in \mathbb{R}[/tex3] , quando [tex3]x\to \infty[/tex3] nesse caso
[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{4.\sqrt{3+\not\frac1x}+\not\frac5x}{\not\frac2x+\sqrt{3+\not\frac1x}+\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{4.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2[/tex3]
O limite acima dá 2.[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{4.\sqrt{3x^2+1}+5}{2+\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3}x}=0[/tex3]
O jeito mais fácil de ver é dividindo por x, que é equivalente ao argumento de [tex3]x>>\forall a \in \mathbb{R}[/tex3] , quando [tex3]x\to \infty[/tex3] nesse caso
[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{4.\sqrt{3+\not\frac1x}+\not\frac5x}{\not\frac2x+\sqrt{3+\not\frac1x}+\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{4.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2[/tex3]
Ciclo Básico - IME
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