Boa noite .
preciso de ajuda nessa questão.
1 Determine se a serie e divergente ou convergente e justique a sua resposta:
[tex3]\sum ^{\infty }_{n \to 0}\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}\dotplus 3n^{2}e^{-5n}}{n^{2}} [/tex3]
Obrigada
Ensino Superior ⇒ calculo V series
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2020
25
14:42
Re: calculo V series
Podemos usar o seguinte critério de convergência:
Definimos então [tex3]a_n=\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}\dotplus 3n^{2}e^{-5n}}{n^{2}}[/tex3].
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}[/tex3]
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}+3n^{2}e^{-5n}}{n^{2}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}}{n^{2}}+\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n^{2}e^{-5n}}{n^{2}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}}{n^{2}}+\lim_{n\rightarrow \infty}3e^{-5n}[/tex3]
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}}{n^{2}}+0[/tex3]
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}}{n^{2}}[/tex3]
Substituindo [tex3]n=2k[/tex3], tal que [tex3]n\rightarrow\infty \implies k\rightarrow \infty [/tex3] :
[tex3]\lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k}=\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{2k+3}}{(2k)^{2}}[/tex3]
[tex3]\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{(-5)^3\left ( -5 \right )^{2k}}{(2k)^{2}}[/tex3]
[tex3]\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{-125\cdot 25 ^{k}}{4k^{2}}[/tex3]
[tex3]-{125\over4}\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{25 ^{k}}{k^{2}}[/tex3]
Temos indeterminação da forma [tex3]\infty\over\infty[/tex3] , aplicando L'Hospital:
[tex3]-{125\over4}\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{25 ^{k}\ln(25)}{2k}[/tex3]
Ainda temos indeterminação da forma [tex3]\infty\over\infty[/tex3] , aplicando L'Hospital:
[tex3]-{125\over4}\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{25 ^{k}\ln^2(25)}{2}[/tex3]
[tex3]-{125\over4}\cdot\infty[/tex3]
[tex3]\lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k}=-\infty[/tex3]
Se uma sequência possuí uma subsequência divergente, então ela também é divergente, ou seja, o limite não existe.. Pelo critério mencionado, sabemos que a soma não converge.
- Se [tex3]\sum_{n=k}^\infty a_n[/tex3] converge, então [tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0[/tex3]
Ou, por contraposição:
- Se [tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\neq0[/tex3] ou o limite não existe, então [tex3]\sum_{n=k}^\infty a_n[/tex3] não converge.
Definimos então [tex3]a_n=\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}\dotplus 3n^{2}e^{-5n}}{n^{2}}[/tex3].
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}[/tex3]
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}+3n^{2}e^{-5n}}{n^{2}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}}{n^{2}}+\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n^{2}e^{-5n}}{n^{2}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}}{n^{2}}+\lim_{n\rightarrow \infty}3e^{-5n}[/tex3]
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}}{n^{2}}+0[/tex3]
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{n+3}}{n^{2}}[/tex3]
Substituindo [tex3]n=2k[/tex3], tal que [tex3]n\rightarrow\infty \implies k\rightarrow \infty [/tex3] :
[tex3]\lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k}=\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{\left ( -5 \right )^{2k+3}}{(2k)^{2}}[/tex3]
[tex3]\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{(-5)^3\left ( -5 \right )^{2k}}{(2k)^{2}}[/tex3]
[tex3]\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{-125\cdot 25 ^{k}}{4k^{2}}[/tex3]
[tex3]-{125\over4}\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{25 ^{k}}{k^{2}}[/tex3]
Temos indeterminação da forma [tex3]\infty\over\infty[/tex3] , aplicando L'Hospital:
[tex3]-{125\over4}\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{25 ^{k}\ln(25)}{2k}[/tex3]
Ainda temos indeterminação da forma [tex3]\infty\over\infty[/tex3] , aplicando L'Hospital:
[tex3]-{125\over4}\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{25 ^{k}\ln^2(25)}{2}[/tex3]
[tex3]-{125\over4}\cdot\infty[/tex3]
[tex3]\lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k}=-\infty[/tex3]
Se uma sequência possuí uma subsequência divergente, então ela também é divergente, ou seja, o limite não existe.. Pelo critério mencionado, sabemos que a soma não converge.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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