Ensino Superior ⇒ Função racional Tópico resolvido

[CristhianCR]

Suponha que [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

definida e continua em [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

e [tex3]f(x)= 0[/tex3]

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[tex3]f(x)= 0[/tex3]

para todo [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

racional . prove que [tex3]f(x)=0[/tex3]

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[tex3]f(x)=0[/tex3]

para todo x real.





se alguém puder me ajudar nesta questão fico grato

[AnthonyC]

Vamos utilizar pra esse o Teorema da Conservação de Sinal:

Seja [tex3]f(x)[/tex3] uma função contínua.

• Se [tex3]f(a)>0[/tex3], então existe um [tex3]\delta>0[/tex3], tal que se [tex3]x\in(a-\delta,a-\delta)[/tex3], então [tex3]f(x)>0[/tex3].

• Se [tex3]f(a)<0[/tex3], então existe um [tex3]\delta'>0[/tex3], tal que se [tex3]x\in(a-\delta',a-\delta')[/tex3], então [tex3]f(x)<0[/tex3].

Em outras palavras, se eu possuir uma função contínua, eu consigo encontrar um intervalo em torno de um ponto, tal que a função possuí o mesmo sinal da função calculada naquele ponto.
Sendo assim, seja [tex3]x=i,~~i\in\mathbb{I}[/tex3], tal que [tex3]f(i)>0[/tex3]. Como a função é contínua, então podemos aplicar o Teorema. Assim, existe um [tex3]\delta>0[/tex3], tal que se [tex3]x\in(i-\delta,i+\delta)[/tex3], então [tex3]f(x)>0[/tex3]. Porém, os racionais são densos entre os reais, então em qualquer intervalo podemos encontrar um racional. Assim, existe um racional [tex3]q\in(i-\delta,i+\delta)[/tex3]. Pela definição da função, temos que [tex3]f(q)=0[/tex3], o que contradiz o teorema. Assim, não existe [tex3]x=i,~~i\in\mathbb{I}[/tex3]

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[tex3]x=i,~~i\in\mathbb{I}[/tex3]

, tal que [tex3]f(i)>0[/tex3]

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[tex3]f(i)>0[/tex3]

. Usando exatamente o mesmo raciocínio para um [tex3]x=i',~~i'\in\mathbb{I}[/tex3], tal que [tex3]f(i')<0[/tex3], obteremos a mesma contradição. Assim, não existe [tex3]x[/tex3], tal que [tex3]f(x)\neq0[/tex3]. Logo, [tex3]f(x)=0,~~\forall ~x\in \mathbb{R}[/tex3].

[CristhianCR]

Vamos utilizar pra esse o Teorema da Conservação de Sinal:

Seja [tex3]f(x)[/tex3] uma função contínua.

• Se [tex3]f(a)>0[/tex3], então existe um [tex3]\delta>0[/tex3], tal que se [tex3]x\in(a-\delta,a-\delta)[/tex3], então [tex3]f(x)>0[/tex3].

• Se [tex3]f(a)<0[/tex3], então existe um [tex3]\delta'>0[/tex3], tal que se [tex3]x\in(a-\delta',a-\delta')[/tex3], então [tex3]f(x)<0[/tex3].

Em outras palavras, se eu possuir uma função contínua, eu consigo encontrar um intervalo em torno de um ponto, tal que a função possuí o mesmo sinal da função calculada naquele ponto.
Sendo assim, seja [tex3]x=i,~~i\in\mathbb{I}[/tex3], tal que [tex3]f(i)>0[/tex3]. Como a função é contínua, então podemos aplicar o Teorema. Assim, existe um [tex3]\delta>0[/tex3], tal que se [tex3]x\in(i-\delta,i+\delta)[/tex3], então [tex3]f(x)>0[/tex3]. Porém, os racionais são densos entre os reais, então em qualquer intervalo podemos encontrar um racional. Assim, existe um racional [tex3]q\in(i-\delta,i+\delta)[/tex3]. Pela definição da função, temos que [tex3]f(q)=0[/tex3], o que contradiz o teorema. Assim, não existe [tex3]x=i,~~i\in\mathbb{I}[/tex3]

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[tex3]x=i,~~i\in\mathbb{I}[/tex3]

, tal que [tex3]f(i)>0[/tex3]

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[tex3]f(i)>0[/tex3]

. Usando exatamente o mesmo raciocínio para um [tex3]x=i',~~i'\in\mathbb{I}[/tex3], tal que [tex3]f(i')<0[/tex3], obteremos a mesma contradição. Assim, não existe [tex3]x[/tex3], tal que [tex3]f(x)\neq0[/tex3]. Logo, [tex3]f(x)=0,~~\forall ~x\in \mathbb{R}[/tex3].

obrigado pela bela explicação !

me ajudou muito