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Considerando as afirmações, quais estão corretas?

I. Considerando os vetores canônicos i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) temos que
|| i × j || = || j × k || = || i × k ||.

II. Para que o volume do paralelepípedo determinado por u = (3, 5, 7), v = (2a, 0 − a) e
w = (0, 1, 3) seja igual a 13, o valor de a = 1.

III. Para que o produto misto entre três vetores seja nulo, um deles deve ser o vetor nulo ou
eles devem ser coplanares.

IV. Dados dois vetores u , v L.I.s no espaço, então a norma do vetor u × v é a área do triângulo formado por u ,v ,u - v .

V. Os pontos A(3, 0, 2), B(4, 3, 0) e C(8, 1, −1) são os vértices de um triangulo retângulo.

I. Considerando os vetores canônicos [tex3]i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0)[/tex3] e [tex3]k = (0, 0, 1)[/tex3] temos que
[tex3]|| i × j || = || j × k || = || i × k ||.[/tex3]
Primeiro vamos achar os produtos:
[tex3]i\times j=\begin{vmatrix}
i & j & k \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}=1\cdot k=k[/tex3]
[tex3]i\times k=\begin{vmatrix}
i & j & k \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}=-1\cdot j=-j[/tex3]
[tex3]j\times k=\begin{vmatrix}
i & j & k \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}=1\cdot i=i[/tex3]

Assim, cada um dos produtos retorna um dos vetores canônicos. Logo:
[tex3]||i\times j||=||k||=1[/tex3]
[tex3]||i\times k||=||-j||=1[/tex3]
[tex3]||j\times k||=||i||=1[/tex3]

CORRETA

II. Para que o volume do paralelepípedo determinado por [tex3]u = (3, 5, 7)[/tex3], [tex3]v = (2a, 0 ,− a)[/tex3] e [tex3]w = (0, 1, 3)[/tex3] seja igual a 13, o valor de [tex3]a = 1[/tex3].
O volume do paralelepípedo é dada pelo produto misto dos três:
[tex3]u\cdot(v\times w)=\begin{vmatrix}
3 & 5 & 7 \\
2a & 0 & -a \\
0 & 1 & 3 \\
\end{vmatrix}[/tex3]
[tex3]u\cdot(v\times w)=14a-(-3a+30a)[/tex3]
[tex3]u\cdot(v\times w)=-13a[/tex3]
Para que o produto seja 13, devemos ter [tex3]a=-1[/tex3].

ERRADA

III. Para que o produto misto entre três vetores seja nulo, um deles deve ser o vetor nulo ou
eles devem ser coplanares.
[tex3]u\cdot(t\times w)=\begin{vmatrix}
x_u & y_u & z_u \\
x_t & y_t & z_t\\
x_w & y_w & z_w \\
\end{vmatrix}[/tex3]

Se um dos vetores for nulo, teremos uma linha de zeros, que fará do determinante 0;

Se os três forem coplanares, então o produto vetorial de quaisquer dois resultará num vetor perpendicular ao terceiro. Ao aplicar o produto escalar entre vetores perpendiculares, o resultado é 0;

CORRETA

IV. Dados dois vetores [tex3] u , v[/tex3] L.I's no espaço, então a norma do vetor [tex3]u × v[/tex3] é a área do triângulo formado por[tex3] u ,v ,u - v [/tex3].
Se os dois são L.I, então [tex3]u\times v\neq 0[/tex3] . Sabemos também que a norma desse vetor será:
[tex3]||u\times v||=||u||*||v||*\sen(\theta)[/tex3]
Porém, essa é a área do paralelogramo formado por [tex3]u,v[/tex3] . Para encontrarmos a área do triângulo precisamos dividir o resultado por dois.
ERRADA

V. Os pontos [tex3]A=(3, 0, 2), B=(4, 3, 0)[/tex3] e [tex3]C=(8, 1, −1)[/tex3] são os vértices de um triângulo retângulo.
Primeiro traçamos vetores através dos pontos:
[tex3]u=\vec {AB}=(1,3,-2)[/tex3]
[tex3]t=\vec {AC}=(5,1,-3)[/tex3]
[tex3]w=\vec {BC}=(4,-2,-1)[/tex3]
Para que eles formem um triângulo retângulo, devemos ter um par de vetores formando um ângulo de [tex3]90^\circ[/tex3] . Portanto, um dos pares deve ter produto escalar igual à 0. Vamos verificar:
[tex3]u\cdot t=1*5+3*1+(-2)*(-3)=14[/tex3]
[tex3]w\cdot t=4*5+(-2)*1+(-1)*(-3)=21[/tex3]
[tex3]u\cdot w=1*4+3*(-2)+(-2)*(-1)=0[/tex3]
Assim, temos dois vetores perpendiculares, portanto, os três pontos formam um triângulo retângulo.

CORRETA

Assim, as alternativas corretas são I,III e V.

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Produto misto e vetorial - Álgebra Linear

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