Ensino Superior ⇒ Espaço Vetorial Tópico resolvido

[IsabelaRosa]

Use os axiomas da definição de espaço vetorial para mostrar que:

α · v = v + ... + v (α vezes)

sendo α ∈ N ⊆ K e v ∈ V .

[AnthonyC]

Usando indução:
Caso inicial: [tex3]\alpha =1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha =1[/tex3]

:
[tex3]1\cdot v=v[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1\cdot v=v[/tex3]

Pelo axioma do elemento identidade da multiplicação:
[tex3]v=v[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v=v[/tex3]

Confere.

Hipótese de indução: suponhamos que seja verdade para o caso [tex3]\alpha=k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha=k[/tex3]

:
[tex3]kv=\underbrace{v+v+...+v}_{k \text{ vezes} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]kv=\underbrace{v+v+...+v}_{k \text{ vezes} }[/tex3]

[tex3]kv+{\color{red}v}=v+v+...+v+{\color{red}v}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]kv+{\color{red}v}=v+v+...+v+{\color{red}v}[/tex3]

Pelo axioma da distributividade na multiplicação por escalar:
[tex3](k+1)v=\underbrace{v+v+...+v}_{k +1\text{ vezes} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](k+1)v=\underbrace{v+v+...+v}_{k +1\text{ vezes} }[/tex3]

Assim, provamos por indução que [tex3]nv=\underbrace{v+v+...+v}_{n\text{ vezes} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]nv=\underbrace{v+v+...+v}_{n\text{ vezes} }[/tex3]