Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Teorema do Valor Médio
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2020
14
16:07
Teorema do Valor Médio
Mostre que [tex3]\sqrt{1+x}<1+\frac{1}{2}x[/tex3]
se [tex3]x>0[/tex3]
.-
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Ago 2020
14
21:33
Re: Teorema do Valor Médio
Vamos definir a função:
[tex3]f(x)=\sqrt{x+1}-{x\over2}[/tex3]
Se pegarmos uma constante [tex3]a\gt0[/tex3] , podemos aplicar o T.V.M no intervalo [tex3][0,a][/tex3] :
[tex3]f(a)=\sqrt{a+1}-{a\over2}[/tex3]
[tex3]f(0)=1[/tex3]
Assim, sabemos que existe [tex3]c\in(0,a)[/tex3] , tal que:
[tex3]f'(c)={f(a)-f(0)\over a-0}[/tex3]
[tex3]f'(c)={\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a-0}[/tex3]
[tex3]f'(c)={\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a}[/tex3]
Vamos agora estudar [tex3]f'(c)[/tex3] :
[tex3]f'(c)={1\over2\sqrt{c+1}}-{1\over2}[/tex3]
Sabemos que:
[tex3]c>0[/tex3]
[tex3]c+1>1[/tex3]
[tex3]\sqrt{c+1}>1[/tex3]
[tex3]2\sqrt{c+1}>2[/tex3]
[tex3]{1\over 2\sqrt{c+1}}<{1\over2}[/tex3]
[tex3]{1\over 2\sqrt{c+1}}-{1\over2}<0[/tex3]
[tex3]f'(c)<0[/tex3]
Então:
[tex3]0>f'(c)={\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a}[/tex3]
[tex3]0>{\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a}[/tex3]
Como [tex3]a>0[/tex3] , podemos multiplicar ambos os lados sem alterar a direção da inequação:
[tex3]0>\sqrt{a+1}-{a\over2}-1[/tex3]
[tex3]\sqrt{a+1}<{a\over2}+1[/tex3]
Assim, para qualquer [tex3]x>0[/tex3] , teremos:
[tex3]\sqrt{1+x}<1+\frac{1}{2}x[/tex3]
[tex3]f(x)=\sqrt{x+1}-{x\over2}[/tex3]
Se pegarmos uma constante [tex3]a\gt0[/tex3] , podemos aplicar o T.V.M no intervalo [tex3][0,a][/tex3] :
[tex3]f(a)=\sqrt{a+1}-{a\over2}[/tex3]
[tex3]f(0)=1[/tex3]
Assim, sabemos que existe [tex3]c\in(0,a)[/tex3] , tal que:
[tex3]f'(c)={f(a)-f(0)\over a-0}[/tex3]
[tex3]f'(c)={\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a-0}[/tex3]
[tex3]f'(c)={\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a}[/tex3]
Vamos agora estudar [tex3]f'(c)[/tex3] :
[tex3]f'(c)={1\over2\sqrt{c+1}}-{1\over2}[/tex3]
Sabemos que:
[tex3]c>0[/tex3]
[tex3]c+1>1[/tex3]
[tex3]\sqrt{c+1}>1[/tex3]
[tex3]2\sqrt{c+1}>2[/tex3]
[tex3]{1\over 2\sqrt{c+1}}<{1\over2}[/tex3]
[tex3]{1\over 2\sqrt{c+1}}-{1\over2}<0[/tex3]
[tex3]f'(c)<0[/tex3]
Então:
[tex3]0>f'(c)={\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a}[/tex3]
[tex3]0>{\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a}[/tex3]
Como [tex3]a>0[/tex3] , podemos multiplicar ambos os lados sem alterar a direção da inequação:
[tex3]0>\sqrt{a+1}-{a\over2}-1[/tex3]
[tex3]\sqrt{a+1}<{a\over2}+1[/tex3]
Assim, para qualquer [tex3]x>0[/tex3] , teremos:
[tex3]\sqrt{1+x}<1+\frac{1}{2}x[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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