Ensino Superior

Mostre que [tex3]\sqrt{1+x}<1+\frac{1}{2}x[/tex3] se [tex3]x>0[/tex3] .

Vamos definir a função:
[tex3]f(x)=\sqrt{x+1}-{x\over2}[/tex3]

Se pegarmos uma constante [tex3]a\gt0[/tex3] , podemos aplicar o T.V.M no intervalo [tex3][0,a][/tex3] :
[tex3]f(a)=\sqrt{a+1}-{a\over2}[/tex3]
[tex3]f(0)=1[/tex3]

Assim, sabemos que existe [tex3]c\in(0,a)[/tex3] , tal que:
[tex3]f'(c)={f(a)-f(0)\over a-0}[/tex3]
[tex3]f'(c)={\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a-0}[/tex3]
[tex3]f'(c)={\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a}[/tex3]

Vamos agora estudar [tex3]f'(c)[/tex3] :
[tex3]f'(c)={1\over2\sqrt{c+1}}-{1\over2}[/tex3]
Sabemos que:
[tex3]c>0[/tex3]
[tex3]c+1>1[/tex3]
[tex3]\sqrt{c+1}>1[/tex3]
[tex3]2\sqrt{c+1}>2[/tex3]
[tex3]{1\over 2\sqrt{c+1}}<{1\over2}[/tex3]
[tex3]{1\over 2\sqrt{c+1}}-{1\over2}<0[/tex3]
[tex3]f'(c)<0[/tex3]

Então:
[tex3]0>f'(c)={\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a}[/tex3]
[tex3]0>{\sqrt{a+1}-{a\over2}-1\over a}[/tex3]
Como [tex3]a>0[/tex3] , podemos multiplicar ambos os lados sem alterar a direção da inequação:
[tex3]0>\sqrt{a+1}-{a\over2}-1[/tex3]
[tex3]\sqrt{a+1}<{a\over2}+1[/tex3]

Assim, para qualquer [tex3]x>0[/tex3] , teremos:
[tex3]\sqrt{1+x}<1+\frac{1}{2}x[/tex3]

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