Ensino Superior ⇒ Cálculo Vetorial 4 Tópico resolvido

[Gabrieljmr]

Dado o ponto P0=(1,1,1) e o plano π de equação 2x+3y+5z=30, qual dos pontos listados abaixo é o ponto do plano π que está mais próximo do ponto P0 ?


a. (41/19,49/19,69/19)
b. (38/19,49/19,69/19)
c. (37/19,49/19,69/19)
d. Nenhuma das outras respostas é correta.
e. (40/19,49/19,69/19)
f. (39/19,49/19,69/19)

[AlexandreHDK]

A reta que passa pelo ponto P0 e pelo ponto do plano mais próximo de P0 possui vetor diretor na mesma direção e sentido que o vetor normal ao plano.
Assim, vamos escrever as equações desta reta:
Eq. paramétrica, usando os dados do problema:
r: (x,y,z)=(1,1,1)+(2,3,5)t
Que é o mesmo que dizer que:
[tex3]t=\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{5}[/tex3]

E assim, tiramos estas 2 equações:
[tex3]3(x-1)=2(y-1)\\5(x-1)=2(z-1)
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3(x-1)=2(y-1)\\5(x-1)=2(z-1)
[/tex3]

Trabalhando nelas chegamos a:
[tex3]3x-2y=1\\5x-2z=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3x-2y=1\\5x-2z=3[/tex3]

O ponto desejado deverá satisfazer estas 3 equações:
[tex3]\begin{cases}
3x&-2y&&=1\\
5x&&-2z&=3 \\
2x&+3y&+5z&=30
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
3x&-2y&&=1\\
5x&&-2z&=3 \\
2x&+3y&+5z&=30
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo este sistema chegamos a:
[tex3](x,y,z)=\(\frac{39}{19},\frac{49}{19},\frac{69}{19}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x,y,z)=\(\frac{39}{19},\frac{49}{19},\frac{69}{19}\)[/tex3]

Resposta: f