Ensino Superior ⇒ Derivada

[Natan]

Considere a função:

[tex3]f(x)=\left\{\begin{array}{l}& x^2sen(\frac{1}{x})\ \text{se}\ x{\neq}0 \\&0\, \text{se}\, x=0&\end{array}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\left\{\begin{array}{l}& x^2sen(\frac{1}{x})\ \text{se}\ x{\neq}0 \\&0\, \text{se}\, x=0&\end{array}[/tex3]

Mostre que [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

é diferenciável em [tex3]x=0,[/tex3]

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[tex3]x=0,[/tex3]

e use a definição de derivada via limite para calcular [tex3]f^'(0)[/tex3]

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[tex3]f^'(0)[/tex3]

[jneto]

Boa noite,

Para valores de x não nulos, deriva-se diretamente, um cálculo mais cuidadoso é necessário para [tex3]x = 0[/tex3]

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[tex3]x = 0[/tex3]

[tex3]f'(0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{t^{2}\sin(\frac{1}{t^{2}})}{t} \\
f'(0) = \lim_{t\to 0} t\sin(\frac{1}{t^{2}})[/tex3]

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[tex3]f'(0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{t^{2}\sin(\frac{1}{t^{2}})}{t} \\
f'(0) = \lim_{t\to 0} t\sin(\frac{1}{t^{2}})[/tex3]

Nessa última passagem, temos um termo limitado, multiplicado por um termo que tende à zero; segue do teorema do confronto que o limite é zero, portanto:

[tex3]\boxed{f'(0) = 0}[/tex3]

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[tex3]\boxed{f'(0) = 0}[/tex3]

Fiquem com Deus