Ensino SuperiorCalculo II Tópico resolvido

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1marcus
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Calculo II

Mensagem não lida por 1marcus »

Um circuito RC ligado em serie tem [tex3]C=0,01\,\,farad[/tex3] ,[tex3]R=20 \,\,\Omega [/tex3] e [tex3]E(t) =60 e^{-2t}\,\,V[/tex3] , e a carga é nula no instante inicial. a Equação diferencial que representa a variação da carga que no circuito é [tex3]\frac{dq(t)}{dt}+\frac{1}{RC}q(t)=\frac{E(t)}{R}[/tex3] .

utilizando a transformada e a transformada inversa de laplace:
A)calcule a carga q(t) do circuito?
B)calcule a corrente inicial do circuito?

Última edição: jrneliodias (Qui 09 Jul, 2020 00:40). Total de 1 vez.



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AnthonyC
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Jul 2020 09 22:48

Re: Calculo II

Mensagem não lida por AnthonyC »

Obs: não entendo muito de circuitos, então vou fazer matematicamente e torcer que não esteja cometendo nenhum erro físico:
(a)
[tex3]\frac{dq(t)}{dt}+\frac{1}{RC}q(t)=\frac{E(t)}{R}[/tex3]
[tex3]\mathcal{L}\left\{ \frac{dq(t)}{dt}+\frac{1}{RC}q(t) \right\}=\mathcal{L}\left\{ \frac{E(t)}{R}\right\}[/tex3]
[tex3]s\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}-q(0)+\frac{1}{RC}\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}=\mathcal{L}\left\{ \frac{60 e^{-2t}}{R}\right\}[/tex3]
[tex3]s\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}-q(0)+\frac{1}{RC}\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}=\frac{60 }{R(s+2)}[/tex3]
Sabemos do enunciado que a carga é nula no instante inicial, então [tex3]q(0)=0 [/tex3] :
[tex3]s\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}+\frac{1}{RC}\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}=\frac{60 }{R(s+2)}[/tex3]
[tex3]\left(s +\frac{1}{RC} \right)\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}=\frac{60 }{R(s+2)}[/tex3]
[tex3]\left(s +\frac{1}{20\cdot 0,01} \right)\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}=\frac{60 }{20(s+2)}[/tex3]
[tex3]\left(s +5 \right)\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}=\frac{3 }{(s+2)}[/tex3]
[tex3]\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}=\frac{3 }{\left(s +5 \right)(s+2)}[/tex3]
Vamos dividir a fração em frações parciais:
[tex3]\frac{3 }{\left(s +5 \right)(s+2)}=\frac{A}{\left(s +5 \right)}+\frac{B}{(s+2)}[/tex3]
[tex3]\frac{3 }{\left(s +5 \right)(s+2)}=\frac{A(s+2)+B(s+5)}{(s+5)(s+2)}[/tex3]
[tex3]\frac{3 }{\left(s +5 \right)(s+2)}=\frac{As+2A+Bs+5B}{(s+5)(s+2)}[/tex3]
[tex3]\frac{3 }{\left(s +5 \right)(s+2)}=\frac{(A+B)s+(2A+5B)}{(s+5)(s+2)}[/tex3]
Por igualdade de polinômios temos:
[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
2A+5B=3
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo, temos [tex3]A=-1,B=1[/tex3] :
[tex3]\frac{3 }{\left(s +5 \right)(s+2)}=\frac{1}{(s+2)}- \frac{1}{\left(s +5 \right)}[/tex3]

[tex3]\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}=\frac{3 }{\left(s +5 \right)(s+2)}[/tex3]
[tex3]\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}=\frac{1}{(s+2)}- \frac{1}{\left(s +5 \right)}[/tex3]
[tex3]\mathcal{L}^{-1}\{\mathcal{L}\left\{ q(t) \right\}\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{(s+2)}- \frac{1}{\left(s +5 \right)} \right\}[/tex3]
[tex3]q(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\}-\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{\left(s +5 \right)} \right\}[/tex3]
[tex3] q(t)=e^{-2t}-e^{-5t}[/tex3]

(b)
Pelo que sei, corrente pode ser calculada dividindo a tensão pela resistência:
[tex3]I(t)={E(t)\over R}[/tex3]
[tex3]I(t)={60 e^{-2t}\over R}[/tex3]
[tex3]I(t)=3e^{-2t}[/tex3]
[tex3]I(0)=3 [/tex3] A



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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