Ensino Superior ⇒ integral com denominador em raiz
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2020
07
20:40
integral com denominador em raiz
[tex3]\int\limits_{0}^{3}\frac{x²}{\sqrt{x³+9}}dx[/tex3]
Jul 2020
08
00:49
Re: integral com denominador em raiz
Perceba que eu tenho [tex3]x^2[/tex3]
em cima e [tex3]x^3[/tex3]
embaixo. A derivada de [tex3]x^3[/tex3]
é [tex3]3x^2[/tex3]
, então podemos usar substituição:
[tex3]u=x^3+9\implies u]_9^{36}[/tex3]
[tex3]du=3x^2dx[/tex3]
[tex3]{du\over3}=x^2dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{3}\frac{x^2}{\sqrt{x^3+9}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{9}^{36}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot{du\over3}[/tex3]
[tex3]{1\over3}\int\limits_{9}^{36}u^{-{1\over2}}du[/tex3]
[tex3]{1\over3}\left.{u^{1\over2}\over{1\over2}}\right]_{9}^{36}[/tex3]
[tex3]{1\over3}\left({36^{1\over2}\over{1\over2}}-{9^{1\over2}\over{1\over2}}\right)[/tex3]
[tex3]{1\over3}\left(12-6\right)[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{3}\frac{x^2}{\sqrt{x^3+9}}dx=2[/tex3]
[tex3]u=x^3+9\implies u]_9^{36}[/tex3]
[tex3]du=3x^2dx[/tex3]
[tex3]{du\over3}=x^2dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{3}\frac{x^2}{\sqrt{x^3+9}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{9}^{36}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot{du\over3}[/tex3]
[tex3]{1\over3}\int\limits_{9}^{36}u^{-{1\over2}}du[/tex3]
[tex3]{1\over3}\left.{u^{1\over2}\over{1\over2}}\right]_{9}^{36}[/tex3]
[tex3]{1\over3}\left({36^{1\over2}\over{1\over2}}-{9^{1\over2}\over{1\over2}}\right)[/tex3]
[tex3]{1\over3}\left(12-6\right)[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{3}\frac{x^2}{\sqrt{x^3+9}}dx=2[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
Jul 2020
08
00:53
Re: integral com denominador em raiz
só uma coisa, pq o 3 vira 36 é o 0 vira 9 ali nas raizes?AnthonyC escreveu: ↑Qua 08 Jul, 2020 00:49Perceba que eu tenho [tex3]x^2[/tex3] em cima e [tex3]x^3[/tex3] embaixo. A derivada de [tex3]x^3[/tex3] é [tex3]3x^2[/tex3] , então podemos usar substituição:
[tex3]u=x^3+9\implies u]_9^{36}[/tex3]
[tex3]du=3x^2dx[/tex3]
[tex3]{du\over3}=x^2dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{3}\frac{x^2}{\sqrt{x^3+9}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{9}^{36}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot{du\over3}[/tex3]
[tex3]{1\over3}\int\limits_{9}^{36}u^{-{1\over2}}du[/tex3]
[tex3]{1\over3}\left.{u^{1\over2}\over{1\over2}}\right]_{9}^{36}[/tex3]
[tex3]{1\over3}\left({36^{1\over2}\over{1\over2}}-{9^{1\over2}\over{1\over2}}\right)[/tex3]
[tex3]{1\over3}\left(12-6\right)[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{3}\frac{x^2}{\sqrt{x^3+9}}dx=2[/tex3]
Jul 2020
08
01:09
Re: integral com denominador em raiz
Por que quando faço uma substituição numa integral definida, há duas formas de prosseguir:
- Substituo [tex3]x[/tex3]
por [tex3]u[/tex3]
, calculo a integral como se fosse indefinida, no final substituo de volta [tex3]u[/tex3]
por [tex3]x[/tex3]
e calculo o valor usando limites de [tex3]x[/tex3]
;
Ex:
[tex3]\int_0^22x\sqrt{1+x^2}dx[/tex3]
[tex3]u=1+x^2[/tex3]
[tex3]du=2xdx[/tex3]
[tex3]\int\sqrt{u}du[/tex3]
[tex3]{2\over3}\sqrt{u^3}[/tex3]
[tex3]{2\over3}\sqrt{(1+x^2)^3}]_0^2[/tex3]
[tex3]{2\over3}(5\sqrt{5}-1)[/tex3] - Substituo [tex3]x[/tex3]
por [tex3]u[/tex3]
, substituo os limites em [tex3]u[/tex3]
, resolvo a integral e calculo o valor usando limites de [tex3]u[/tex3]
;
Ex:
[tex3]\int_0^22x\sqrt{1+x^2}dx[/tex3]
[tex3]u=1+x^2[/tex3]
[tex3]du=2xdx[/tex3]
A integral em [tex3]x[/tex3] ia de 0 até 1. Quando [tex3]x[/tex3] vale 0, [tex3]u[/tex3] vale 1 (basta substituir 0 na equação da substituição). Quando [tex3]x[/tex3] vale 2, [tex3]u[/tex3] vale 5. Então a integral em [tex3]u[/tex3] vai de 1 até 5.
[tex3]\int_1^5\sqrt{u}du[/tex3]
[tex3]{2\over3}\sqrt{u^3}]_1^5[/tex3]
[tex3]{2\over3}(5\sqrt{5}-1)[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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