Ensino Superior ⇒ Continuidade Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2020
04
19:25
Continuidade
Suponha que [tex3]f[/tex3]
definida e contínua em [tex3]\mathbb{R}[/tex3]
e que [tex3]f(x) = 0[/tex3]
para todo x racional. Prove que [tex3]f(x) = 0[/tex3]
para todo x real. (Sugestão:use o teorema da conservação de sinal).
-
deOliveira 
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Ago 2020
09
22:19
Re: Continuidade
Suponha que existe um irracional [tex3]r[/tex3]
tal que [tex3]f(r)\ne0[/tex3]
.
Como [tex3]f[/tex3] é contínua, pelo teorema do sinal, existe [tex3]\delta>0[/tex3] tal que para todo [tex3]x\in(r-\delta, r+\delta)[/tex3] [tex3]f(x)[/tex3] tem o mesmo sinal de [tex3]f(r)[/tex3] . Mas como os racionais são densos em [tex3]\mathbb R[/tex3] temos que existem infinitos [tex3]q\in(r-\delta,r+\delta)\cap\mathbb Q[/tex3] e, por definição, [tex3]f(q)=0[/tex3] . Uma contradição.
Dessa forma, provamos por absurdo que [tex3]f(x)=0[/tex3] para todo [tex3]x\in\mathbb R[/tex3] .
Espero ter ajudado
.
Como [tex3]f[/tex3] é contínua, pelo teorema do sinal, existe [tex3]\delta>0[/tex3] tal que para todo [tex3]x\in(r-\delta, r+\delta)[/tex3] [tex3]f(x)[/tex3] tem o mesmo sinal de [tex3]f(r)[/tex3] . Mas como os racionais são densos em [tex3]\mathbb R[/tex3] temos que existem infinitos [tex3]q\in(r-\delta,r+\delta)\cap\mathbb Q[/tex3] e, por definição, [tex3]f(q)=0[/tex3] . Uma contradição.
Dessa forma, provamos por absurdo que [tex3]f(x)=0[/tex3] para todo [tex3]x\in\mathbb R[/tex3] .
Espero ter ajudado
.Saudações.
Ago 2020
09
22:37
Re: Continuidade
deOliveira, só uma pergunta, essa questão ainda seria de cálculo ou já entraria tecnicamente em tópicos de análise real?
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
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-
deOliveira
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Ago 2020
09
23:47
Re: Continuidade
Essa questão está no Guidorizzi 1, e por ser bem simples eu diria que seria uma questão de cálculo, mas teórica né. Se fosse colocado como uma questão de análise seria uma questão bem fácil.
No fim, pode ser das duas coisas.
No fim, pode ser das duas coisas.
Saudações.
Ago 2020
10
02:14
Re: Continuidade
Falando de maneira não-matemática o que deOliveira escreveu:
O teorema do sinal garante que existe um intervalo finito ao redor de um valor [tex3]a[/tex3] tal que pra qualquer [tex3]x[/tex3] dentro deste intervalo, [tex3]f(x)[/tex3] possuí o mesmo sinal (que é o mesmo que a [tex3]f(a)[/tex3] possuí). Vale ressaltar que isso só é possível se a função for contínua.
Agora, digamos que eu tenha um irracional [tex3]r[/tex3] , tal que [tex3]f(r)\neq0[/tex3] e [tex3]f(r)>0[/tex3] . Pelo teorema do sinal, eu consigo encontrar um intervalo finito ao redor desse [tex3]r[/tex3] , tal que [tex3]f(x)>0[/tex3] . Porém, os racionais são densos entre os reais, que significa que qualquer intervalo finito nos reais contém infinitos racionais. Pela definição da nossa função, para qualquer um desses racionais, [tex3]f(x)=0[/tex3] . Então, no meu intervalo finito, existem infintos valores que não possuem o mesmo sinal que [tex3]f(r)[/tex3] , o que contradiz o teorema do sinal. Logo, a minha hipótese original que [tex3]f(r)>0[/tex3] estava errada. Usando exatamente o mesmo raciocínio pra [tex3]f(r)<0[/tex3] , chegaremos na mesma contradição.
Como [tex3]f(r)\ngtr0[/tex3] e [tex3]f(r)\nless 0[/tex3] , a única possibilidade que sobra é [tex3]f(r)=0 , ~~\forall ~r~~\in \mathbb{I}[/tex3] e consequentemente, [tex3]f(x)=0 , ~~\forall ~x~~\in \mathbb{R}[/tex3] .
O teorema do sinal garante que existe um intervalo finito ao redor de um valor [tex3]a[/tex3] tal que pra qualquer [tex3]x[/tex3] dentro deste intervalo, [tex3]f(x)[/tex3] possuí o mesmo sinal (que é o mesmo que a [tex3]f(a)[/tex3] possuí). Vale ressaltar que isso só é possível se a função for contínua.
Agora, digamos que eu tenha um irracional [tex3]r[/tex3] , tal que [tex3]f(r)\neq0[/tex3] e [tex3]f(r)>0[/tex3] . Pelo teorema do sinal, eu consigo encontrar um intervalo finito ao redor desse [tex3]r[/tex3] , tal que [tex3]f(x)>0[/tex3] . Porém, os racionais são densos entre os reais, que significa que qualquer intervalo finito nos reais contém infinitos racionais. Pela definição da nossa função, para qualquer um desses racionais, [tex3]f(x)=0[/tex3] . Então, no meu intervalo finito, existem infintos valores que não possuem o mesmo sinal que [tex3]f(r)[/tex3] , o que contradiz o teorema do sinal. Logo, a minha hipótese original que [tex3]f(r)>0[/tex3] estava errada. Usando exatamente o mesmo raciocínio pra [tex3]f(r)<0[/tex3] , chegaremos na mesma contradição.
Como [tex3]f(r)\ngtr0[/tex3] e [tex3]f(r)\nless 0[/tex3] , a única possibilidade que sobra é [tex3]f(r)=0 , ~~\forall ~r~~\in \mathbb{I}[/tex3] e consequentemente, [tex3]f(x)=0 , ~~\forall ~x~~\in \mathbb{R}[/tex3] .
Última edição: AnthonyC (Seg 10 Ago, 2020 13:26). Total de 1 vez.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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