Verifique, usando a definição, se a seguinte função é contínua em x = 2.
[tex3]f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-4}{x-2}\,\,\,\text{ , }\, {} x\neq 2 \\ 3\,\,\,\,\text{ , }\, x = 2\end{cases}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Função contínua Tópico resolvido
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dnasciimento
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Jul 2020
03
19:09
Função contínua
Última edição: dnasciimento (Sex 03 Jul, 2020 19:12). Total de 1 vez.
Jul 2020
03
21:43
Re: Função contínua
Por definição, uma função é contínua em um dado ponto [tex3]p[/tex3]
se [tex3]\lim_{x\rightarrow p}f(x)=f(p)[/tex3]
. Sabemos nesse caso que [tex3]f(2)=3[/tex3]
. Queremos verificar qual o limite de [tex3]f[/tex3]
com [tex3]x[/tex3]
tendendo à 2:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2}x+2[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=2+2=4[/tex3]
Como [tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\neq f(2)[/tex3] , então a função não é contínua.
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2}x+2[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=2+2=4[/tex3]
Como [tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\neq f(2)[/tex3] , então a função não é contínua.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
Jul 2020
04
09:24
Re: Função contínua
AnthonyC et al., bom dia.
Tentei provar usando epsilons e deltas e cheguei, naturalmente, em [tex3]|x-2|<\delta [/tex3] e [tex3]|x-1|< \epsilon[/tex3] e parei por aí. Não consegui fazer muita coisa, então.
Alguma ideia de como prosseguir? Ou seria o caso em que usar epsilons e deltas seria bem difícil e incômodo (sei que existem casos assim, só não os sei reconhecer haha)?
Tentei provar usando epsilons e deltas e cheguei, naturalmente, em [tex3]|x-2|<\delta [/tex3] e [tex3]|x-1|< \epsilon[/tex3] e parei por aí. Não consegui fazer muita coisa, então.
Alguma ideia de como prosseguir? Ou seria o caso em que usar epsilons e deltas seria bem difícil e incômodo (sei que existem casos assim, só não os sei reconhecer haha)?
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
Alan Guth
Jul 2020
04
23:06
Re: Função contínua
Provar (ou refutar) que [tex3]x\rightarrow2\implies f(x)= \frac{x^2-4}{x-2}\rightarrow3 [/tex3]
. Temos que:
[tex3]|x-2|<\delta[/tex3]
[tex3]-\delta< x-2<\delta[/tex3]
[tex3]-\delta+4< x+2<\delta+4[/tex3]
[tex3]-\delta+1< x+2-3<\delta+1[/tex3]
Como [tex3]-\delta-1<-\delta+1< x+2-3[/tex3] :
[tex3]-\delta-1< x+2-3<\delta+1[/tex3]
[tex3]-(\delta+1)< x+2-3<\delta+1[/tex3]
[tex3]| x+2-3|<\delta+1[/tex3]
[tex3]| x+2-3|\cdot{|x-2|\over|x-2|}<\delta+1[/tex3]
[tex3]\left|{x^2-4\over x-2}-3\right|<\delta+1[/tex3]
Porém aqui eu não posso escolher [tex3]\epsilon=\delta +1[/tex3] , por que eu quero que tanto [tex3]\epsilon[/tex3] e [tex3]\delta[/tex3] sejam tão pequenos quanto eu queira. Porém, como [tex3]\delta>0[/tex3] , [tex3]\epsilon>1[/tex3] . Assim, como não consigo estabelecer uma relação entre [tex3]\epsilon[/tex3] e [tex3]\delta[/tex3] , tal que ambos possa ser arbitrariamente pequenos, então:
[tex3]\lim_{x\rightarrow2}f(x)\neq 3[/tex3]
Perceba que se nesse passo aqui:
[tex3]-\delta+4< x+2<\delta+4[/tex3]
[tex3]-\delta< x+2-4<\delta[/tex3]
[tex3]| x+2-4|<\delta[/tex3]
[tex3]| x+2-4|\cdot{|x-2|\over|x-2|}<\delta[/tex3]
[tex3]\left|{x^2-4\over x-2}-4\right|<\delta[/tex3]
Se escolher [tex3]\epsilon=\delta[/tex3] , temos:
[tex3]|f(x)-4|<\epsilon [/tex3]
Como [tex3]|x-2|<\delta \implies |f(x)-4|<\epsilon[/tex3] , então [tex3]\lim_{x\rightarrow2}f(x)=4[/tex3]
[tex3]|x-2|<\delta[/tex3]
[tex3]-\delta< x-2<\delta[/tex3]
[tex3]-\delta+4< x+2<\delta+4[/tex3]
[tex3]-\delta+1< x+2-3<\delta+1[/tex3]
Como [tex3]-\delta-1<-\delta+1< x+2-3[/tex3] :
[tex3]-\delta-1< x+2-3<\delta+1[/tex3]
[tex3]-(\delta+1)< x+2-3<\delta+1[/tex3]
[tex3]| x+2-3|<\delta+1[/tex3]
[tex3]| x+2-3|\cdot{|x-2|\over|x-2|}<\delta+1[/tex3]
[tex3]\left|{x^2-4\over x-2}-3\right|<\delta+1[/tex3]
Porém aqui eu não posso escolher [tex3]\epsilon=\delta +1[/tex3] , por que eu quero que tanto [tex3]\epsilon[/tex3] e [tex3]\delta[/tex3] sejam tão pequenos quanto eu queira. Porém, como [tex3]\delta>0[/tex3] , [tex3]\epsilon>1[/tex3] . Assim, como não consigo estabelecer uma relação entre [tex3]\epsilon[/tex3] e [tex3]\delta[/tex3] , tal que ambos possa ser arbitrariamente pequenos, então:
[tex3]\lim_{x\rightarrow2}f(x)\neq 3[/tex3]
Perceba que se nesse passo aqui:
Se eu tivesse escolhido 4 ao invés de 3, daria certo:[tex3]-\delta+4< x+2<\delta+4[/tex3]
[tex3]-\delta+1< x+2-3<\delta+1[/tex3]
[tex3]-\delta+4< x+2<\delta+4[/tex3]
[tex3]-\delta< x+2-4<\delta[/tex3]
[tex3]| x+2-4|<\delta[/tex3]
[tex3]| x+2-4|\cdot{|x-2|\over|x-2|}<\delta[/tex3]
[tex3]\left|{x^2-4\over x-2}-4\right|<\delta[/tex3]
Se escolher [tex3]\epsilon=\delta[/tex3] , temos:
[tex3]|f(x)-4|<\epsilon [/tex3]
Como [tex3]|x-2|<\delta \implies |f(x)-4|<\epsilon[/tex3] , então [tex3]\lim_{x\rightarrow2}f(x)=4[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
Jul 2020
05
11:54
Re: Função contínua
AnthonyC, entendi, muito obrigado!
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Alan Guth
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