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Encontre as primeira e segunda derivadas da Função

[tex3]f(x)=(x^2+1)^5. cos x[/tex3]

[tex3]f(x)=(x^2+1)^5\cos(x)[/tex3]
Aqui usamos regra do produto para [tex3](x^2+1)^5[/tex3] e [tex3]\cos(x)[/tex3] e também regra da cadeia para [tex3](x^2+1)^5[/tex3]
[tex3]f'(x)=\left[ (x^2+1)^5 \right]'\cos(x)+(x^2+1)^5[\cos(x)]'[/tex3]
[tex3]f'(x)=5(x^2+1)^4[(x^2+1)]'\cos(x)-(x^2+1)^5\sen(x)[/tex3]
[tex3]f'(x)=5(x^2+1)^42x\cos(x)-(x^2+1)^5\sen(x)[/tex3]
[tex3]f'(x)=10x(x^2+1)^4\cos(x)-(x^2+1)^5\sen(x)[/tex3]

Pra achar a segunda derivada, no primeiro termo, usamos uma extensão da regra do produto:
[tex3][f(x)g(x) h(x)]'=[f(x) g(x)]'h(x)+f(x)g(x)h'(x)[/tex3]
[tex3][f(x)g(x) h(x)]'=f'(x) g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)[/tex3]

Assim:
[tex3]f''(x)=10x'(x^2+1)^4\cos(x)+10x\left[(x^2+1)^4\right]'\cos(x)+10x(x^2+1)^4[\cos(x)]'-\left[(x^2+1)^5\right]'\sen(x)-(x^2+1)^5[\sen(x)]'[/tex3]
[tex3]f''(x)=10(x^2+1)^4\cos(x)+10x\cdot 4(x^2+1)^4\cdot2x\cos(x)+10x(x^2+1)^4\sen(x)-5(x^2+1)^4\sen(x)-(x^2+1)^5\cos(x)[/tex3]
[tex3]f''(x)=10(x^2+1)^4\cos(x)+80x^2\cdot (x^2+1)^4\cdot\cos(x)+10x(x^2+1)^4\sen(x)-5(x^2+1)^4\sen(x)-(x^2+1)^5\cos(x)[/tex3]

Ensino Superior ⇒ Derivadas da Função Tópico resolvido

Derivadas da Função

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