Dada a quádrica de equação 12x² - 4y² + 3z² + 40y - 18z - 85 = 0, pede-se:
a) a equação padrão (geral) desta quádrica.
b) um esboço desta quádrica entre os planos y = 2 e y = 9. Use escala de 1 u.c. = 1 cm.
OBS: Indique as coordenadas do centro da quádrica no esboço do gráfico. Mostre todas as equações
necessárias para o esboço, inclusive as dos traços nos planos y = 2 e y = 9.
Ensino Superior ⇒ Quádrica da Equação
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2020
06
19:58
Re: Quádrica da Equação
[tex3]12x^2 - 4y^2 + 3z^2 + 40y - 18z - 85 = 0[/tex3]
[tex3]12x^2- 4y^2+40y + 3z^2- 18z =85[/tex3]
[tex3]12x^2- 4(y^2-10y) + 3(z^2- 6z) =85[/tex3]
[tex3]12x^2- 4(y^2-10y+5^2-5^2) + 3(z^2- 6z+3^2-3^2) =85[/tex3]
[tex3]12x^2- 4(y-5)^2+100 + 3(z- 3)^2-27 =85[/tex3]
[tex3]12x^2- 4(y-5)^2+ 3(z- 3)^2 =85+27-100[/tex3]
[tex3]12x^2- 4(y-5)^2+ 3(z- 3)^2 =12[/tex3]
[tex3]x^2- \frac{(y-5)^2}{3}+ \frac{(z- 3)^2}4 =1[/tex3]
Podemos reconhecer essa equação como sendo de um hiperboloide de uma folha com centro em [tex3](0,5,3)[/tex3] e eixo central paralelo ao eixo [tex3]y[/tex3] .
b)
Pra fazer um esboço, primeiro vamos pegar alguma curvas guia:
[tex3]x^2- \frac{3^2}{3}+ \frac{(z- 3)^2}4 =1[/tex3]
[tex3]x^2- 4+ \frac{(z- 3)^2}4 =1[/tex3]
[tex3]x^2- 3+ \frac{(z- 3)^2}4 =1[/tex3]
[tex3]x^2+ \frac{(z- 3)^2}4 =4[/tex3]
[tex3]x^2+ \frac{(z- 3)^2}4 =4[/tex3]
[tex3]{x^2\over2^2}+ \frac{(z- 3)^2}{4^2} =1[/tex3]
Elipse num plano paralelo ao [tex3]xz[/tex3] , centrada em [tex3](0,3)[/tex3] com semi-eixos [tex3]2[/tex3] em [tex3]x[/tex3] e [tex3]4[/tex3] em [tex3]z[/tex3] ;
Obs: eixo vermelho é [tex3]x, [/tex3]
eixo verde é [tex3]y[/tex3]
, eixo azul é [tex3]z[/tex3]
[tex3]x^2- \frac{(4)^2}{3}+ \frac{(z- 3)^2}4 =1[/tex3]
[tex3]x^2+ \frac{(z- 3)^2}4 =1+{16\over3}[/tex3]
[tex3]x^2+ \frac{(z- 3)^2}4 ={19\over3}[/tex3]
[tex3]{x^2\over{19\over3}}+ \frac{(z- 3)^2}{{76\over3}} =1[/tex3]
Elipse num plano paralelo ao [tex3]xz[/tex3] , centrada em [tex3](0,3)[/tex3] com semi-eixos [tex3]\sqrt{19\over3}[/tex3] em [tex3]x[/tex3] e [tex3]\sqrt{76\over3}[/tex3] em [tex3]z[/tex3] ;
[tex3]\frac{(z- 3)^2}4 -\frac{(y-5)^2}{3}=1[/tex3]
Hipérbole no plano [tex3]yz[/tex3] , centrada em [tex3](5,3)[/tex3] em torno de um eixo paralelo ao eixo [tex3]y[/tex3] ;
[tex3]x^2 -\frac{(y-5)^2}{3}=1-{9\over4}[/tex3]
[tex3]x^2 -\frac{(y-5)^2}{3}=-{5\over4}[/tex3]
[tex3]\frac{(y-5)^2}{{15\over4}}-{x^2\over{{5\over4}}}=1[/tex3]
Hipérbole no plano [tex3]xy[/tex3] , centrada em [tex3](0,5)[/tex3] em torno de um eixo paralelo ao eixo [tex3]x[/tex3] ;
Pra cada [tex3]y[/tex3]
fixo, teremos um elipse. Para cada [tex3]x,z[/tex3]
fixos, teremos hipérboles. No final o que obtemos é:
[tex3]12x^2- 4y^2+40y + 3z^2- 18z =85[/tex3]
[tex3]12x^2- 4(y^2-10y) + 3(z^2- 6z) =85[/tex3]
[tex3]12x^2- 4(y^2-10y+5^2-5^2) + 3(z^2- 6z+3^2-3^2) =85[/tex3]
[tex3]12x^2- 4(y-5)^2+100 + 3(z- 3)^2-27 =85[/tex3]
[tex3]12x^2- 4(y-5)^2+ 3(z- 3)^2 =85+27-100[/tex3]
[tex3]12x^2- 4(y-5)^2+ 3(z- 3)^2 =12[/tex3]
[tex3]x^2- \frac{(y-5)^2}{3}+ \frac{(z- 3)^2}4 =1[/tex3]
Podemos reconhecer essa equação como sendo de um hiperboloide de uma folha com centro em [tex3](0,5,3)[/tex3] e eixo central paralelo ao eixo [tex3]y[/tex3] .
b)
Pra fazer um esboço, primeiro vamos pegar alguma curvas guia:
- Para [tex3]y=2[/tex3] :
[tex3]x^2- \frac{3^2}{3}+ \frac{(z- 3)^2}4 =1[/tex3]
[tex3]x^2- 4+ \frac{(z- 3)^2}4 =1[/tex3]
[tex3]x^2- 3+ \frac{(z- 3)^2}4 =1[/tex3]
[tex3]x^2+ \frac{(z- 3)^2}4 =4[/tex3]
[tex3]x^2+ \frac{(z- 3)^2}4 =4[/tex3]
[tex3]{x^2\over2^2}+ \frac{(z- 3)^2}{4^2} =1[/tex3]
Elipse num plano paralelo ao [tex3]xz[/tex3] , centrada em [tex3](0,3)[/tex3] com semi-eixos [tex3]2[/tex3] em [tex3]x[/tex3] e [tex3]4[/tex3] em [tex3]z[/tex3] ;
- 1-elipse.png (40.87 KiB) Exibido 650 vezes
- Para [tex3]y=9[/tex3] :
[tex3]x^2- \frac{(4)^2}{3}+ \frac{(z- 3)^2}4 =1[/tex3]
[tex3]x^2+ \frac{(z- 3)^2}4 =1+{16\over3}[/tex3]
[tex3]x^2+ \frac{(z- 3)^2}4 ={19\over3}[/tex3]
[tex3]{x^2\over{19\over3}}+ \frac{(z- 3)^2}{{76\over3}} =1[/tex3]
Elipse num plano paralelo ao [tex3]xz[/tex3] , centrada em [tex3](0,3)[/tex3] com semi-eixos [tex3]\sqrt{19\over3}[/tex3] em [tex3]x[/tex3] e [tex3]\sqrt{76\over3}[/tex3] em [tex3]z[/tex3] ;
- 2-elipse.png (43.21 KiB) Exibido 650 vezes
- Para [tex3]x=0[/tex3] :
[tex3]\frac{(z- 3)^2}4 -\frac{(y-5)^2}{3}=1[/tex3]
Hipérbole no plano [tex3]yz[/tex3] , centrada em [tex3](5,3)[/tex3] em torno de um eixo paralelo ao eixo [tex3]y[/tex3] ;
- 3-Hipérbole.png (73.38 KiB) Exibido 650 vezes
- Para [tex3]z=0[/tex3] :
[tex3]x^2 -\frac{(y-5)^2}{3}=1-{9\over4}[/tex3]
[tex3]x^2 -\frac{(y-5)^2}{3}=-{5\over4}[/tex3]
[tex3]\frac{(y-5)^2}{{15\over4}}-{x^2\over{{5\over4}}}=1[/tex3]
Hipérbole no plano [tex3]xy[/tex3] , centrada em [tex3](0,5)[/tex3] em torno de um eixo paralelo ao eixo [tex3]x[/tex3] ;
- 4-Hipérbole.png (89.63 KiB) Exibido 650 vezes
- 5-Hiperboloide.png (125.95 KiB) Exibido 650 vezes
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
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