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Matemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora
Enviado: Sáb 20 Jun, 2020 18:06
por Fred91
Olá tudo bem?
Poderiam me ajudar com a seguinte questão:
Considere a função 𝑓: ℚ → ℚ dada por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 +10
Dado 𝑦 ∈ ℤ, obtenha 𝑥 ∈ ℤ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦.
Infelizmente não achei um valor que possa igualar o valor de x à resolução da função (y)
Desde já, agradeço a atenção!
Re: Matemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora
Enviado: Sáb 20 Jun, 2020 18:32
por deOliveira
Note que [tex3]f(x)=3x+10=3\underbrace{(x+3)}_{k}+1=3k+1[/tex3]
. Com isso temos que dado [tex3]x\in\mathbb Z[/tex3]
, [tex3]f(x)[/tex3]
será um número da forma [tex3]3k+1[/tex3]
. Assim, só é possível resolver o exercício se [tex3]y[/tex3]
for também da forma [tex3]3k+1[/tex3]
.
Talvez o exercício esteja errado, e no lugar de [tex3]x\in\mathbb Z[/tex3]
seja [tex3]x\in\mathbb Q[/tex3]
, ou faltou hipótese.
De onde é esse exercício?
Espero ter ajudado
.
Re: Matemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora
Enviado: Sáb 20 Jun, 2020 18:37
por Fred91
O exercício é de uma lista passada pelo meu professor.
Será que teria algum jeito de eu induzir que y chegue ao resultado de 3k+1?
Obrigado pela atenção!
Re: Matemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora
Enviado: Sáb 20 Jun, 2020 18:42
por deOliveira
Pelo algoritmo da divisão, existem três possibilidades para um número inteiro [tex3]y[/tex3]
, são elas:
[tex3]y=3k\\y=3k+1\\y=3k+2[/tex3]
, com [tex3]k\in\mathbb Z[/tex3]
. Então, ou [tex3]y[/tex3]
é da forma [tex3]3k+1[/tex3]
ou não é, não tem como induzir isso nos inteiros.
Re: Matemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora
Enviado: Sáb 20 Jun, 2020 21:16
por AnthonyC
Como o [tex3]y[/tex3]
é dado, melhor isolar o [tex3]x[/tex3]
:
[tex3]f(x)=y=3x+10[/tex3]
[tex3]y=3x+10[/tex3]
[tex3]y-10=3x[/tex3]
[tex3]x=\frac{y-10}3[/tex3]
Assim, para que [tex3]x\in\mathbb{Z}[/tex3]
, precisamos que [tex3]y-10[/tex3]
seja múltiplo de 3.
Podemos ter [tex3]y=10,13,16,...[/tex3]
, ou ainda
[tex3]y=3k+10,k\in\mathbb{Z}\\y=3k+9+1\\ y=3k+1[/tex3]
Assim, dado [tex3]y[/tex3]
, sendo que [tex3]y=3k+10[/tex3]
, teremos:
[tex3]x=\frac{y-10}{3}[/tex3]
[tex3]x=\frac{3k+10-10}{3}[/tex3]
[tex3]x=\frac{3k}{3}[/tex3]
[tex3]x=k[/tex3]
Podemos escrever as soluções como um conjunto de pares [tex3](y,x)[/tex3]
:
[tex3]\{...,(-2,-4),(1,-3),(4,-2),(7,-1),...\}[/tex3]