Ensino SuperiorMatemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora Tópico resolvido

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Fred91
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Matemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora

Mensagem não lida por Fred91 »

Olá tudo bem?

Poderiam me ajudar com a seguinte questão:

Considere a função 𝑓: ℚ → ℚ dada por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 +10
Dado 𝑦 ∈ ℤ, obtenha 𝑥 ∈ ℤ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦.

Infelizmente não achei um valor que possa igualar o valor de x à resolução da função (y)

Desde já, agradeço a atenção!




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deOliveira
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Jun 2020 20 18:32

Re: Matemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora

Mensagem não lida por deOliveira »

Note que [tex3]f(x)=3x+10=3\underbrace{(x+3)}_{k}+1=3k+1[/tex3] . Com isso temos que dado [tex3]x\in\mathbb Z[/tex3] , [tex3]f(x)[/tex3] será um número da forma [tex3]3k+1[/tex3] . Assim, só é possível resolver o exercício se [tex3]y[/tex3] for também da forma [tex3]3k+1[/tex3] .

Talvez o exercício esteja errado, e no lugar de [tex3]x\in\mathbb Z[/tex3] seja [tex3]x\in\mathbb Q[/tex3] , ou faltou hipótese.
De onde é esse exercício?

Espero ter ajudado :).



Matemática é melhor do que contato humano. '-'

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Fred91
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Jun 2020 20 18:37

Re: Matemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora

Mensagem não lida por Fred91 »

O exercício é de uma lista passada pelo meu professor.
Será que teria algum jeito de eu induzir que y chegue ao resultado de 3k+1?

Obrigado pela atenção!



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deOliveira
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Jun 2020 20 18:42

Re: Matemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora

Mensagem não lida por deOliveira »

Pelo algoritmo da divisão, existem três possibilidades para um número inteiro [tex3]y[/tex3] , são elas:
[tex3]y=3k\\y=3k+1\\y=3k+2[/tex3] , com [tex3]k\in\mathbb Z[/tex3] . Então, ou [tex3]y[/tex3] é da forma [tex3]3k+1[/tex3] ou não é, não tem como induzir isso nos inteiros.


Matemática é melhor do que contato humano. '-'

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AnthonyC
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Jun 2020 20 21:16

Re: Matemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora

Mensagem não lida por AnthonyC »

Como o [tex3]y[/tex3] é dado, melhor isolar o [tex3]x[/tex3] :
[tex3]f(x)=y=3x+10[/tex3]
[tex3]y=3x+10[/tex3]
[tex3]y-10=3x[/tex3]
[tex3]x=\frac{y-10}3[/tex3]
Assim, para que [tex3]x\in\mathbb{Z}[/tex3] , precisamos que [tex3]y-10[/tex3] seja múltiplo de 3.
Podemos ter [tex3]y=10,13,16,...[/tex3] , ou ainda
[tex3]y=3k+10,k\in\mathbb{Z}\\y=3k+9+1\\ y=3k+1[/tex3]
Assim, dado [tex3]y[/tex3] , sendo que [tex3]y=3k+10[/tex3] , teremos:
[tex3]x=\frac{y-10}{3}[/tex3]
[tex3]x=\frac{3k+10-10}{3}[/tex3]
[tex3]x=\frac{3k}{3}[/tex3]
[tex3]x=k[/tex3]
Podemos escrever as soluções como um conjunto de pares [tex3](y,x)[/tex3] :
[tex3]\{...,(-2,-4),(1,-3),(4,-2),(7,-1),...\}[/tex3]



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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