Questão 2 Uma esfera é um sólido definido por um conjunto de todos os pontos (x,y,z), de centro C=(x_c, y_c, z_c) e raio r, onde d[(x_c, y_c, z_c),(x,y,z)]=r
Equação padrão de uma esfera é dada por: (x-x_c)²+(y-y_c)²+(z-z_c)²=r²
No projeto desenvolvido pelo engenheiro Nonato, existe uma esfera de equação: x²+y²+z²-4x-2y-6z-35=0
Com o objetivo de determinar a quantidade de materiais necessários para a produção de esfera, apresente:
a) as coordenadas do centro dessa esfera e a medida do seu raio.
b) o volume dessa esfera, sendo V=4/3πr³ a fórmula para esse cálculo. trabalhe com π=3, r o raio da esfera em cm como unidade de medida.
Estou perdidíssima!!
Alguém ajuda? Desde já, obrigada!
Ensino Superior ⇒ Esfera: coordenadas do centro, medida do raio e volume
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2020
18
21:44
Re: Esfera: coordenadas do centro, medida do raio e volume
a)
Pra descobrir as informações ali, precisa primeiro transformar a equação que você possuí na equação característica da esfera.
[tex3]x^2+y^2+z^2-4x-2y-6z-35=0[/tex3]
Pra isso, vou separar cada variável:
[tex3]x^2-4x+y^2-2y+z^2-6z=35[/tex3]
Agora, vamos completar quadrado pra cada uma das variáveis separadamente:
[tex3]x^2-4x[/tex3]
[tex3]x^2-2\cdot 2\cdot x[/tex3]
Como [tex3](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex3] , por comparação, devemos ter [tex3]a=x,\space b=2[/tex3] . Então, adicionaremos e subtrairemos [tex3]b^2=2^2=4[/tex3] :
[tex3]x^2-2\cdot 2\cdot x+4-4[/tex3]
[tex3](x-2)^2-4[/tex3]
Analogamente para [tex3]y,z[/tex3] :
[tex3]y^2-2y[/tex3]
[tex3]y^2-2\cdot 1\cdot y[/tex3]
[tex3]y^2-2\cdot 1\cdot y+1-1[/tex3]
[tex3](y-1)^2-1[/tex3]
[tex3]z^2-6y[/tex3]
[tex3]z^2-2\cdot 3\cdot z[/tex3]
[tex3]z^2-2\cdot 3\cdot z+9-9[/tex3]
[tex3](z-3)^2-9[/tex3]
Substituindo esses resultados na equação original:
[tex3]x^2-4x+y^2-2y+z^2-6z=35[/tex3]
[tex3](x-2)^2-4+(y-1)^2-1+(z-3)^2-9=35[/tex3]
[tex3](x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=35+4+1+9[/tex3]
[tex3](x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=49[/tex3]
Comparando com a equação característica da esfera [tex3](x-x_c)^+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=r^2[/tex3] , temos:
[tex3]x_c=2 \\
y_c=1 \\
z_c=3 \\
r^2=49\rightarrow r=7[/tex3]
b)
Dado que o raio é 7, basta substituir e calcular:
[tex3]V=\frac{4}{3}\pi\cdot 7^3[/tex3]
[tex3]V=\frac{4}{3}\cdot3\cdot 343[/tex3]
[tex3]V=1372[/tex3]
Pra descobrir as informações ali, precisa primeiro transformar a equação que você possuí na equação característica da esfera.
[tex3]x^2+y^2+z^2-4x-2y-6z-35=0[/tex3]
Pra isso, vou separar cada variável:
[tex3]x^2-4x+y^2-2y+z^2-6z=35[/tex3]
Agora, vamos completar quadrado pra cada uma das variáveis separadamente:
[tex3]x^2-4x[/tex3]
[tex3]x^2-2\cdot 2\cdot x[/tex3]
Como [tex3](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex3] , por comparação, devemos ter [tex3]a=x,\space b=2[/tex3] . Então, adicionaremos e subtrairemos [tex3]b^2=2^2=4[/tex3] :
[tex3]x^2-2\cdot 2\cdot x+4-4[/tex3]
[tex3](x-2)^2-4[/tex3]
Analogamente para [tex3]y,z[/tex3] :
[tex3]y^2-2y[/tex3]
[tex3]y^2-2\cdot 1\cdot y[/tex3]
[tex3]y^2-2\cdot 1\cdot y+1-1[/tex3]
[tex3](y-1)^2-1[/tex3]
[tex3]z^2-6y[/tex3]
[tex3]z^2-2\cdot 3\cdot z[/tex3]
[tex3]z^2-2\cdot 3\cdot z+9-9[/tex3]
[tex3](z-3)^2-9[/tex3]
Substituindo esses resultados na equação original:
[tex3]x^2-4x+y^2-2y+z^2-6z=35[/tex3]
[tex3](x-2)^2-4+(y-1)^2-1+(z-3)^2-9=35[/tex3]
[tex3](x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=35+4+1+9[/tex3]
[tex3](x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=49[/tex3]
Comparando com a equação característica da esfera [tex3](x-x_c)^+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=r^2[/tex3] , temos:
[tex3]x_c=2 \\
y_c=1 \\
z_c=3 \\
r^2=49\rightarrow r=7[/tex3]
b)
Dado que o raio é 7, basta substituir e calcular:
[tex3]V=\frac{4}{3}\pi\cdot 7^3[/tex3]
[tex3]V=\frac{4}{3}\cdot3\cdot 343[/tex3]
[tex3]V=1372[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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