Ensino Superior

Girllie · Mensagem não lida por **Girllie** » 18 Jun 2020, 18:01

Determinada fábrica produz dois produtos A e B. O lucro diário, em reais, da indústria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por: ∫(x,y)=64x+196y-1/3x³-1/3y³+420

Supondo que toda a produção da indústria seja vendida:

a) Desenvolva o cálculo de derivada parcial de primeira ordem e as equações a seguir. Depois, apresente os valores possíveis para x e y como pontos de extremos, indicados pelos pares ordenados (x, y). dl/dx(x,y)=0 dl/dy(x,y)=0

b) apresente o lucro máximo obtido com a venda dos produtos A e B.

Help, por favor (especialmente na questão b, que estou perdida!)

Obrigada a quem ajudar, bjs.

Mensagem não lidapor **AnthonyC** » 19 Jun 2020, 13:47 · Mensagem não lida por **AnthonyC** » 19 Jun 2020, 13:47

a)
Primeiros vamos achar as derivadas parciais da função [tex3]L(x,y)=64x+196y-\frac{1}{3x^3}-\frac{1}{3y^3}+420[/tex3]
[tex3]\frac{\partial L}{\partial x}=64-\frac{(-3)}{3x^4}=64+\frac{1}{x^4}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial L}{\partial y}=196-\frac{(-3)}{3y^4}=196+\frac{1}{y^4}[/tex3]

Aqui temos um problema:
[tex3]\frac{\partial L}{\partial x}=0=64+\frac{1}{x^4}[/tex3]
[tex3]-64=\frac{1}{x^4}[/tex3]
[tex3]\frac{\partial L}{\partial y}=0=196+\frac{1}{y^4}[/tex3]
[tex3]-196=\frac{1}{y^4}[/tex3]
Não existe solução real para [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] , logo, as derivadas parciais nunca são 0. Mas isso implica que a função não tem um valor máximo, que é o que a (b) pede. O enunciado da questão tá certo?
Caso esteja, então as respostas são:

[tex3]a)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial L}{\partial x}=64+\frac{1}{x^4}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial L}{\partial y}=196+\frac{1}{y^4}[/tex3]

Não há [tex3](x,y)/\space\frac{\partial L}{\partial x} \text{ e } \frac{\partial L}{\partial y}= 0[/tex3]

[tex3]b)[/tex3]
Como a função não possui nenhum ponto onde [tex3]\space\frac{\partial L}{\partial x} \text{ e } \frac{\partial L}{\partial y}= 0[/tex3] , então ela não possui valor máximo nem mínimo.

Girllie · Mensagem não lida por **Girllie** » 19 Jun 2020, 14:29

Oie AnthonyC, td bem?

Primeiro, muitissimo obrigada pela força!!!

Na alternativa a da questão da derivada parcial de primeira ordem, é para desenvolver o cálculo de derivada parcial de primeira ordem e as equações a seguir. Depois, apresente os valores possíveis para x e y como pontos de extremos, indicados pelos pares ordenados (x, y).

Tendo como:

dl/dx (x,y) = 0

dl(dy) (x,y) = 0

Será que assim esclarece??

Muito obrigada, bjs!

Mensagem não lidapor **AnthonyC** » 19 Jun 2020, 15:45 · Mensagem não lida por **AnthonyC** » 19 Jun 2020, 15:45

No caso seria [tex3]L(x,y)=64x+196y-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}y^3+420[/tex3]
Aí podemos resolver

[tex3]a)[/tex3]

Primeiros vamos achar as derivadas parciais:

[tex3]\frac{\partial L}{\partial x}=64-\frac{(3)}{3}x^2=64-x^2[/tex3]

[tex3]\frac{\partial L}{\partial y}=196-\frac{(3)}{3}y^2=196-y^2[/tex3]

Agora, vamos achar os pontos [tex3](x,y)[/tex3] , tal que as derivadas se anulem:

[tex3]\frac{\partial L}{\partial x}=0=64-x^2[/tex3]
[tex3]64=x^2[/tex3]
[tex3]\pm8=x[/tex3]

[tex3]\frac{\partial L}{\partial y}=0=196-y^2[/tex3]
[tex3]196=y^2[/tex3]
[tex3]\pm14=y[/tex3]
Porém, [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] corresponde ao número de unidades de um dado produto. Então não faz sentido pensar em valores negativos pra unidades. Logo, [tex3]x [/tex3] e [tex3]y[/tex3] devem ser maiores que 0. Assim, temos o ponto: [tex3](8,14)[/tex3] .

[tex3]b)[/tex3]
No cálculo I, sabemos que um máximo ou mínimo acontece onde a derivada é igual à 0. Analogamente aqui, um ponto de máximo ou mínimo ocorre quando ambas as derivadas parciais é igual à 0. Como já achamos esse ponto na questão anterior, para descobrirmos o lucro máximo da empresa, basta calcularmos [tex3]L(x,y)[/tex3] no ponto [tex3](8,14)[/tex3] :

[tex3]L(x,y)=64x+196y-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}y^3+420[/tex3]
[tex3]L(8,14)=64\cdot8+196\cdot14-\frac{1}{3}\cdot 8^3-\frac{1}{3}\cdot 14^3+420[/tex3]
[tex3]L(8,14)=8^3+14^4-\frac{8^3}{3}-\frac{14^3}{3}+420[/tex3]
[tex3]L(8,14)=\frac{2}{3}\cdot8^3+\frac{2}{3}\cdot14^3+420[/tex3]
[tex3]L(8,14)=\frac{2}{3}\cdot512+\frac{2}{3}\cdot2744+420[/tex3]
[tex3]L(8,14)=\frac{2}{3}(512+2744)+420[/tex3]
[tex3]L(8,14)=\frac{2}{3}(3256)+420[/tex3]
[tex3]L(8,14)=\frac{6512}{3}+420[/tex3]
[tex3]L(8,14)=\frac{6512+1260}{3}[/tex3]
[tex3]L(8,14)=\frac{7772}{3}[/tex3]
[tex3]L(8,14)\approx R$ \space2590,6[/tex3]

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