Observe
Uma solução:
Temos a seguinte figura
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Então,
[tex3]P_{1}[/tex3]
= intersecção do plano π com a reta que passa por P na direção de [tex3]\vec{v}[/tex3]
.
Daí, criamos a reta s, vem;
s : X = P + λ.[tex3]\vec{v}[/tex3]
⇒
s : X = ( 1 , 4 , 0 ) + λ[tex3].(1 , 4 , 1 )[/tex3]
.
Como [tex3]P_{1}[/tex3]
∈ s ⇒ ∃ λ ∈ IR tal que [tex3]P_{1}[/tex3]
= ( 1 , 4 , 0 ) + λ.( 1 , 4 , 1 ).
Como [tex3]P_{1}[/tex3]
∈ π , [tex3]P_{1}[/tex3]
= ( x , y , z ).
Do plano π, obtemos
x = - y + 2z - 1 , logo;
[tex3]P_{1}[/tex3]
= ( - y + 2z - 1 , y , z ) , pois pertence a π , daí;
[tex3]P_{1}[/tex3]
= ( 1 , 4 , 0 ) + λ.( 1 , 4 , 1 )
( - y + 2z - 1 , y , z ) = ( 1 , 4 , 0 ) + λ.( 1 , 4 , 1 )
( - y + 2z - 1 , y , z ) = ( 1 + λ , 4 + 4λ , λ )
Da igualdade acima, teremos o seguinte sistema:
{ - y + 2z - 1 = 1 + λ
{ ..............y = 4 + 4λ
{…..…........z = λ
Desenvolvendo, você irá obter
x = - 1 , y = - 4 e z = - 2.
Portanto, [tex3]P_{1}[/tex3]
= ( x , y , z ) = ( - 1 , - 4 , - 2 )→
projeção de P paralela a r sobre π.
Nota
Esta resposta [tex3]P' = \left(\frac{47}{54};\frac{188}{54};\frac{7}{54}\right)[/tex3]
você deve ter pego de uma outra questão ou então gabarito equivocado.
Excelente estudo!
