Teorema do Valor Médio
Enviado: Seg 08 Jun, 2020 12:12
Aplicando o Teorema do Valor Médio para a função [tex3]f(x)=x^{1/5}[/tex3]
no intervalo [tex3][32,33][/tex3]
, mostre que [tex3]2<\sqrt[5]{33}<2,0125[/tex3]
[tex3]f'(c)={f(33)-f(32)\over 33-32}[/tex3]
[tex3]f'(c)={33^{1\over5}-32^{1\over5}\over 1}[/tex3]
[tex3]f'(c)=33^{1\over5}-2[/tex3]
[tex3]f'(x)={1\over5}\cdot x^{{1\over5}-1}[/tex3]
[tex3]f'(x)={1\over5}\cdot x^{-{4\over5}}[/tex3]
Como [tex3]x^n>0[/tex3] , para [tex3]x>0[/tex3] , então podemos dizer que [tex3]f'(c)>0[/tex3] , logo:
[tex3]0< f'(c)=\sqrt[5]{33}-2[/tex3]
[tex3]0< \sqrt[5]{33}-2[/tex3]
[tex3]2< \sqrt[5]{33}[/tex3]
Para a segunda inequação, vamos usar o seguinte método.
Pela definição de concavidade:
Podemos descobrir a concavidade de uma função através de sua segunda derivada:Definição:
Seja [tex3]T(x)[/tex3] a reta tangente de [tex3]h(x)[/tex3] no ponto [tex3]x_0[/tex3] . Dizemos que o gráfico de [tex3]h[/tex3] tem concavidade para baixo no intervalo aberto [tex3]I[/tex3] quando [tex3]h(x)< T(x)[/tex3] quaisquer que sejam [tex3]x,x_0\in I[/tex3] , sendo [tex3]x\neq x_0[/tex3] .
[tex3]f'(x)={1\over5}\cdot x^{-{4\over5}}[/tex3]
[tex3]f''(x)=-{4\over25}\cdot x^{-{9\over5}}[/tex3]
Como [tex3]x^n>0[/tex3] , para [tex3]x>0[/tex3] , então [tex3]f''(x)<0[/tex3] , logo, [tex3]f[/tex3] possui concavidade negativa, e pela definição, [tex3]T_{x_0}(x)> f(x),~~\forall~ x,x_0>0[/tex3]. Assim, se tomarmos a reta tangente no ponto [tex3]x=32[/tex3] , temos:
[tex3]T_{32}(x)=f(32)+f'(32)(x-32)[/tex3]
[tex3]T_{32}(x)=2+{1\over80}(x-32)[/tex3]
Usando a inequação que obtivemos, considerando [tex3]x=33[/tex3] , alcançaremos o resultado desejado:
[tex3]T_{32}(33)> f(33)[/tex3]
[tex3]2+{1\over80}(33-32)> \sqrt[5]{33}[/tex3]
[tex3]2+{1\over80}> \sqrt[5]{33}[/tex3]
[tex3]2,0125> \sqrt[5]{33}[/tex3]
Assim, provamos que:
[tex3]2<\sqrt[5]{33}<2,0125[/tex3]