Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Teorema do Valor Médio Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2020
08
12:12
Teorema do Valor Médio
Aplicando o Teorema do Valor Médio para a função [tex3]f(x)=x^{1/5}[/tex3]
no intervalo [tex3][32,33][/tex3]
, mostre que [tex3]2<\sqrt[5]{33}<2,0125[/tex3]
-
AnthonyC
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Ago 2020
19
20:48
Re: Teorema do Valor Médio
O Teorema do Valor Médio nos garante que em uma função contínua e derivável em [tex3][a,b][/tex3]
, existe [tex3]c\in(a,b)[/tex3]
, tal que [tex3]f'(c)={f(b)-f(a)\over b-a}[/tex3]
. Aplicando isso na função e intervalo dados, temos:
[tex3]f'(c)={f(33)-f(32)\over 33-32}[/tex3]
[tex3]f'(c)={33^{1\over5}-32^{1\over5}\over 1}[/tex3]
[tex3]f'(c)=33^{1\over5}-2[/tex3]
[tex3]f'(x)={1\over5}\cdot x^{{1\over5}-1}[/tex3]
[tex3]f'(x)={1\over5}\cdot x^{-{4\over5}}[/tex3]
Como [tex3]x^n>0[/tex3] , para [tex3]x>0[/tex3] , então podemos dizer que [tex3]f'(c)>0[/tex3] , logo:
[tex3]0< f'(c)=\sqrt[5]{33}-2[/tex3]
[tex3]0< \sqrt[5]{33}-2[/tex3]
[tex3]2< \sqrt[5]{33}[/tex3]
Para a segunda inequação, vamos usar o seguinte método.
Pela definição de concavidade:
[tex3]f'(x)={1\over5}\cdot x^{-{4\over5}}[/tex3]
[tex3]f''(x)=-{4\over25}\cdot x^{-{9\over5}}[/tex3]
Como [tex3]x^n>0[/tex3] , para [tex3]x>0[/tex3] , então [tex3]f''(x)<0[/tex3] , logo, [tex3]f[/tex3] possui concavidade negativa, e pela definição, [tex3]T_{x_0}(x)> f(x),~~\forall~ x,x_0>0[/tex3]. Assim, se tomarmos a reta tangente no ponto [tex3]x=32[/tex3] , temos:
[tex3]T_{32}(x)=f(32)+f'(32)(x-32)[/tex3]
[tex3]T_{32}(x)=2+{1\over80}(x-32)[/tex3]
Usando a inequação que obtivemos, considerando [tex3]x=33[/tex3] , alcançaremos o resultado desejado:
[tex3]T_{32}(33)> f(33)[/tex3]
[tex3]2+{1\over80}(33-32)> \sqrt[5]{33}[/tex3]
[tex3]2+{1\over80}> \sqrt[5]{33}[/tex3]
[tex3]2,0125> \sqrt[5]{33}[/tex3]
Assim, provamos que:
[tex3]2<\sqrt[5]{33}<2,0125[/tex3]
[tex3]f'(c)={f(33)-f(32)\over 33-32}[/tex3]
[tex3]f'(c)={33^{1\over5}-32^{1\over5}\over 1}[/tex3]
[tex3]f'(c)=33^{1\over5}-2[/tex3]
[tex3]f'(x)={1\over5}\cdot x^{{1\over5}-1}[/tex3]
[tex3]f'(x)={1\over5}\cdot x^{-{4\over5}}[/tex3]
Como [tex3]x^n>0[/tex3] , para [tex3]x>0[/tex3] , então podemos dizer que [tex3]f'(c)>0[/tex3] , logo:
[tex3]0< f'(c)=\sqrt[5]{33}-2[/tex3]
[tex3]0< \sqrt[5]{33}-2[/tex3]
[tex3]2< \sqrt[5]{33}[/tex3]
Para a segunda inequação, vamos usar o seguinte método.
Pela definição de concavidade:
Podemos descobrir a concavidade de uma função através de sua segunda derivada:Definição:
Seja [tex3]T(x)[/tex3] a reta tangente de [tex3]h(x)[/tex3] no ponto [tex3]x_0[/tex3] . Dizemos que o gráfico de [tex3]h[/tex3] tem concavidade para baixo no intervalo aberto [tex3]I[/tex3] quando [tex3]h(x)< T(x)[/tex3] quaisquer que sejam [tex3]x,x_0\in I[/tex3] , sendo [tex3]x\neq x_0[/tex3] .
[tex3]f'(x)={1\over5}\cdot x^{-{4\over5}}[/tex3]
[tex3]f''(x)=-{4\over25}\cdot x^{-{9\over5}}[/tex3]
Como [tex3]x^n>0[/tex3] , para [tex3]x>0[/tex3] , então [tex3]f''(x)<0[/tex3] , logo, [tex3]f[/tex3] possui concavidade negativa, e pela definição, [tex3]T_{x_0}(x)> f(x),~~\forall~ x,x_0>0[/tex3]. Assim, se tomarmos a reta tangente no ponto [tex3]x=32[/tex3] , temos:
[tex3]T_{32}(x)=f(32)+f'(32)(x-32)[/tex3]
[tex3]T_{32}(x)=2+{1\over80}(x-32)[/tex3]
Usando a inequação que obtivemos, considerando [tex3]x=33[/tex3] , alcançaremos o resultado desejado:
[tex3]T_{32}(33)> f(33)[/tex3]
[tex3]2+{1\over80}(33-32)> \sqrt[5]{33}[/tex3]
[tex3]2+{1\over80}> \sqrt[5]{33}[/tex3]
[tex3]2,0125> \sqrt[5]{33}[/tex3]
Assim, provamos que:
[tex3]2<\sqrt[5]{33}<2,0125[/tex3]
Editado pela última vez por AnthonyC em 19 Ago 2020, 22:40, em um total de 1 vez.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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