Se a equação diferencial que rege a distribuição de temperatura ao longo de uma aleta de dissipação em um meio cuja temperatura é Tm é dada pela equação T ‘’ − λ (T − Tm) = 0, que é uma equação homogênea. Resolva o Problema de Valor Inicial abaixo para determinar a distribuição de temperatura T (x) ao longo das aletas para λ = 4, T (0) = 200 ◦C, T’ (0) = −420 ◦C/m e Tm = 20 ◦C.
T ‘’ − 4T = −80
T (0) = 200
T ‘(0) = −420
Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais Tópico resolvido
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Mai 2020
31
00:27
Re: Equações Diferenciais
Observe
Solução:
T'' - 4T = - 80
A equação característica é :
r² - 4 = 0
∆ = 16
Raízes : [tex3]r_{1}=2[/tex3] , [tex3]r_{2}=-2[/tex3] .
Como ∆ = 16 > 0 , então a solução "auxiliar" ( ou homogênea ) é da forma:
[tex3]T_{A}=C_{1}e^{r_{1}.x}+C_{2}e^{r_{2}.x}[/tex3]
Ou seja,
[tex3]T_{A}=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}[/tex3]
A solução particular é da forma:
[tex3]T_{P}=A \ (I)[/tex3] , onde A é uma constante a ser determinada.
Derivando [tex3]T_{P}=A[/tex3] , temos
[tex3]T'_{P}=A'[/tex3]
[tex3]T'_{P}=0[/tex3]
Derivando mais uma vez, resulta
[tex3]T''_{P}=0 \ ( II )[/tex3]
Substituindo ( I ) e ( I I ) na EDO dada, fica;
0 - 4.A = - 80
A = 80/4
A = 20
Assim, a solução geral é dada por
[tex3]T(x)=T_{A}+T_{P}[/tex3]
Logo,
[tex3]T(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+20[/tex3] .
Vamos usar o PVI dado, ou seja , devemos calcular T( 0 ) = 200 , onde x = 0 , vem;
[tex3]T(x)=C_{1}e^{2.0}+C_{2}e^{-2.0}+20[/tex3]
[tex3]200=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}+20[/tex3]
[tex3]200=C_{1} .1+C_{2}.1+20[/tex3]
[tex3]C_{1} +C_{2}=200-20[/tex3]
[tex3]C_{1} +C_{2}=180 \ (III)[/tex3]
Por outro lado, derivando [tex3]T(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+20[/tex3] , temos
[tex3]T'(x)=(C_{1}e^{2x})'+(C_{2}e^{-2x})'+(20)'[/tex3]
[tex3]T'(x)=(2x)'.C_{1}e^{2x}+(-2x)'.C_{2}e^{-2x}+0[/tex3]
[tex3]T'(x)=2.1.C_{1}e^{2x}-2.1.C_{2}e^{-2x}[/tex3]
[tex3]T'(x)=2C_{1}e^{2x}-2C_{2}e^{-2x}[/tex3]
Calculando T'( 0 ) = - 420 , onde x = 0. Vem;
[tex3]T'(0)=2C_{1}e^{2.0}-2C_{2}e^{-2.0}[/tex3]
[tex3]-420=2C_{1}e^{0}-2C_{2}e^{0}[/tex3]
[tex3]-\frac{420}{2}=C_{1}.1-C_{2}.1[/tex3]
[tex3]C_{1}-C_{2}=-210 \ (IV)[/tex3]
De ( I I I ) e ( IV ) , temos o seguinte sistema
[tex3]\begin{cases}
C_{1} +C_{2}=180 \\
C_{1}-C_{2}=-210
\end{cases}[/tex3]
----------------------------------------
[tex3]2C_{1}=-30[/tex3]
[tex3]C_{1}=-15[/tex3] , então [tex3]C_{2}=195[/tex3]
Portanto,[tex3]T(x)=-15e^{2x}+195e^{-2x}+20[/tex3] .
Bons estudos!
Solução:
T'' - 4T = - 80
A equação característica é :
r² - 4 = 0
∆ = 16
Raízes : [tex3]r_{1}=2[/tex3] , [tex3]r_{2}=-2[/tex3] .
Como ∆ = 16 > 0 , então a solução "auxiliar" ( ou homogênea ) é da forma:
[tex3]T_{A}=C_{1}e^{r_{1}.x}+C_{2}e^{r_{2}.x}[/tex3]
Ou seja,
[tex3]T_{A}=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}[/tex3]
A solução particular é da forma:
[tex3]T_{P}=A \ (I)[/tex3] , onde A é uma constante a ser determinada.
Derivando [tex3]T_{P}=A[/tex3] , temos
[tex3]T'_{P}=A'[/tex3]
[tex3]T'_{P}=0[/tex3]
Derivando mais uma vez, resulta
[tex3]T''_{P}=0 \ ( II )[/tex3]
Substituindo ( I ) e ( I I ) na EDO dada, fica;
0 - 4.A = - 80
A = 80/4
A = 20
Assim, a solução geral é dada por
[tex3]T(x)=T_{A}+T_{P}[/tex3]
Logo,
[tex3]T(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+20[/tex3] .
Vamos usar o PVI dado, ou seja , devemos calcular T( 0 ) = 200 , onde x = 0 , vem;
[tex3]T(x)=C_{1}e^{2.0}+C_{2}e^{-2.0}+20[/tex3]
[tex3]200=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}+20[/tex3]
[tex3]200=C_{1} .1+C_{2}.1+20[/tex3]
[tex3]C_{1} +C_{2}=200-20[/tex3]
[tex3]C_{1} +C_{2}=180 \ (III)[/tex3]
Por outro lado, derivando [tex3]T(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+20[/tex3] , temos
[tex3]T'(x)=(C_{1}e^{2x})'+(C_{2}e^{-2x})'+(20)'[/tex3]
[tex3]T'(x)=(2x)'.C_{1}e^{2x}+(-2x)'.C_{2}e^{-2x}+0[/tex3]
[tex3]T'(x)=2.1.C_{1}e^{2x}-2.1.C_{2}e^{-2x}[/tex3]
[tex3]T'(x)=2C_{1}e^{2x}-2C_{2}e^{-2x}[/tex3]
Calculando T'( 0 ) = - 420 , onde x = 0. Vem;
[tex3]T'(0)=2C_{1}e^{2.0}-2C_{2}e^{-2.0}[/tex3]
[tex3]-420=2C_{1}e^{0}-2C_{2}e^{0}[/tex3]
[tex3]-\frac{420}{2}=C_{1}.1-C_{2}.1[/tex3]
[tex3]C_{1}-C_{2}=-210 \ (IV)[/tex3]
De ( I I I ) e ( IV ) , temos o seguinte sistema
[tex3]\begin{cases}
C_{1} +C_{2}=180 \\
C_{1}-C_{2}=-210
\end{cases}[/tex3]
----------------------------------------
[tex3]2C_{1}=-30[/tex3]
[tex3]C_{1}=-15[/tex3] , então [tex3]C_{2}=195[/tex3]
Portanto,[tex3]T(x)=-15e^{2x}+195e^{-2x}+20[/tex3] .
Bons estudos!
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Dez 2021
06
14:17
Re: Equações Diferenciais
Ola preciso de ajuda nesta questão.
A Equação diferencial que rege a distribuição de temperatura ao longo de uma aleta de dissipação em um meio em que a temperatura é 𝑇𝑚 é dada pela equação 𝑇 ′′ − 𝜆(𝑇 − 𝑇𝑚) = 0. Determinar a distribuição de temperatura ao longo da aleta para 𝜆 = 9, 𝑇(0) = 150°𝐶 e 𝑇 ′ (0) = −300°𝐶/𝑚. Sendo que 𝑇𝑚 = (30𝑒 −3𝑡 ) °𝐶.
A) Montar a Equação Diferencial.
B) Resolver por Variação de Parâmetro.
C) Resolver por Transformada de Laplace.
D) Identificar solução homogênea e não homogênea.
E) Fazer o gráfico da solução.
A Equação diferencial que rege a distribuição de temperatura ao longo de uma aleta de dissipação em um meio em que a temperatura é 𝑇𝑚 é dada pela equação 𝑇 ′′ − 𝜆(𝑇 − 𝑇𝑚) = 0. Determinar a distribuição de temperatura ao longo da aleta para 𝜆 = 9, 𝑇(0) = 150°𝐶 e 𝑇 ′ (0) = −300°𝐶/𝑚. Sendo que 𝑇𝑚 = (30𝑒 −3𝑡 ) °𝐶.
A) Montar a Equação Diferencial.
B) Resolver por Variação de Parâmetro.
C) Resolver por Transformada de Laplace.
D) Identificar solução homogênea e não homogênea.
E) Fazer o gráfico da solução.
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Jan 2022
08
21:46
Re: Equações Diferenciais
Nananinanão ! Siga as regras do fórumcristiannob escreveu: ↑Seg 06 Dez, 2021 14:17Ola preciso de ajuda nesta questão.
A Equação diferencial que rege a distribuição de temperatura ao longo de uma aleta de dissipação em um meio em que a temperatura é 𝑇𝑚 é dada pela equação 𝑇 ′′ − 𝜆(𝑇 − 𝑇𝑚) = 0. Determinar a distribuição de temperatura ao longo da aleta para 𝜆 = 9, 𝑇(0) = 150°𝐶 e 𝑇 ′ (0) = −300°𝐶/𝑚. Sendo que 𝑇𝑚 = (30𝑒 −3𝑡 ) °𝐶.
A) Montar a Equação Diferencial.
B) Resolver por Variação de Parâmetro.
C) Resolver por Transformada de Laplace.
D) Identificar solução homogênea e não homogênea.
E) Fazer o gráfico da solução.
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