Ensino Superior ⇒ Base com matriz Tópico resolvido

[Master]

Determinar uma base e dimensão

[tex3]S={\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} EM2x2/b=a+c/d=c}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S={\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} EM2x2/b=a+c/d=c}[/tex3]

[jneto]

Pode parecer preciosismo o que vou definir, mas só consigo ver a noção de matriz de forma rigorosa fazendo o que segue:

Considere [tex3]I_{n} = \{1,2,3,...,n\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I_{n} = \{1,2,3,...,n\}[/tex3]

.

Definição: Matrizes nxn com entradas reais é o conjunto [tex3]M_{n}(R) = \{A: I_{n} \times I_{n} \to R \}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M_{n}(R) = \{A: I_{n} \times I_{n} \to R \}[/tex3]

.
Ou seja, matrizes são funções.


Então, o conjunto do seu problema ficaria assim:

[tex3]S = \{ A \in M_{2}(R) \,\,|\,\, A(1,2) = A(1,1) + A(2,1)\,\,\, A(2,2) = A(2,1) \}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \{ A \in M_{2}(R) \,\,|\,\, A(1,2) = A(1,1) + A(2,1)\,\,\, A(2,2) = A(2,1) \}[/tex3]

Com a notação convencional:

[tex3]S = \{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \,\,|\,\, b = a + c\,\, , d = c \}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \,\,|\,\, b = a + c\,\, , d = c \}[/tex3]

Para resolver, devemos levar as restrições na matriz:

[tex3]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a + c \\ c & c \end{pmatrix} = \\
= a\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a + c \\ c & c \end{pmatrix} = \\
= a\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/tex3]

Donde, [tex3]dim S = 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]dim S = 2[/tex3]

e

[tex3]B = \{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B = \{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \}[/tex3]

é uma base


Fique com Deus

[Master]

Obrigado