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1) O plano 𝛼 é paralelo ao eixo das cotas e contém a reta que une os pontos A=(-1, 2,0) e B=(1,3,0). Determinar o ponto P’, projeção ortogonal do ponto P=(1,2,1) sobre o plano 𝛼

Observe

Uma solução:

Seja P' a projeção de P sobre o plano 𝛼 . Por outro lado, P' é intersecção do plano [tex3]\alpha [/tex3] com a reta s que passa por P = ( 1 , 2 ,1 ) na direção de [tex3]\vec{v}[/tex3] .

Calculando um vetor diretor do plano 𝛼( também vetor diretor de r contida em 𝛼 ), vem;

[tex3]\vec{AB}=B-A=(1,3,0)-(-1,2,0)[/tex3]

[tex3]\vec{AB}=(2,1,0) \ // \alpha \ //r[/tex3] .

Como o plano 𝛼 é paralelo ao eixo das cotas, logo;

[tex3]\vec{w}=(0,0,1)→vetor \ diretor \ de \ \alpha \ pois \ \vec{w} // 0z // \alpha [/tex3]

Vamos agora determinar o vetor normal ao plano 𝛼 . Usando o produto vetorial entre [tex3]\vec{AB}[/tex3] e [tex3]\vec{w}[/tex3] , temos

[tex3]\vec{n}=\vec{AB}×\vec{w}=\left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right|=\vec{i}-2\vec{j}=(1,-2,0)[/tex3]

Obs.1 [tex3]\vec{AB}×\vec{w} = \vec{AB}\wedge \vec{w}[/tex3] .

A representação da equação geral do plano é : ax + by + cz + d = 0 , como o vetor normal a esse plano é [tex3]\vec{n}=(1,-2,0)[/tex3] , fica;

x - 2y + 0.z + d = 0 → x - 2y + d = 0

Como esse plano ( 𝛼 ) passa por A = ( - 1 , 2 , 0 ) , vem;

- 1 - 2.2 + d = 0 → - 1 - 4 + d = 0 → d = 5

Logo , 𝛼 : x-2y+5=0

Obs.2 Você poderia também encontrar o plano 𝛼 da seguinte maneira:

[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
x-1 & y-3 & z-0\\
2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right]=0[/tex3]

Desenvolvendo você irá obter : x - 2y + 5 = 0.

Como a reta que passa por P e P' ( intersecção do plano 𝛼 com a reta s que passa por P na direção de [tex3]\vec{v}[/tex3] ), então [tex3]\alpha [/tex3] é perpendicular a reta s , logo o vetor diretor ( [tex3]\vec{v}[/tex3] ) de s é normal a [tex3]\alpha [/tex3] , ou seja , [tex3]\vec{v}=\vec{n} =(1,-2,0)[/tex3] .

Assim, como P' [tex3]\in [/tex3] s → ∃ [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3] tal que P' = P + [tex3]\lambda .\vec{v}[/tex3] → P' = ( 1 , 2 , 1 ) + [tex3]\lambda [/tex3] .( 1 , - 2 , 0 ) e como P' [tex3]\in \alpha [/tex3] , P' = ( x , y , z ) , vem;

𝛼 : x - 2y + 5 = 0 → x = 2y - 5 , daí,

P' = ( 2y - 5 , y , z ) , pois pertence a 𝛼 , segue que

P' = ( 1 , 2 , 1 ) + [tex3]\lambda [/tex3] .( 1 , - 2 , 0 )

Então,

( 2y - 5 , y , z ) = ( 1 , 2 , 1 ) + [tex3]\lambda [/tex3] .( 1 , - 2 , 0 )

( 2y - 5 , y , z ) = [tex3](1+\lambda ,2-2\lambda ,1)[/tex3]

Montamos o seguinte sistema

[tex3]\begin{cases}
2y-5=1+\lambda \\
y=2-2\lambda \\
z=1
\end{cases}[/tex3]

Desenvolvendo , você irá obter [tex3]y=\frac{14}{5}[/tex3] .

Substituindo esse valor em x = 2y - 5 , logo , [tex3]x=\frac{3}{5}[/tex3] .

Portanto , a projeção ortogonal do ponto P=( 1 , 2 , 1 ) sobre o plano 𝛼 é [tex3]P'=\left(\frac{3}{5},\frac{14}{5},1\right)[/tex3] .

Bons estudos!

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