Ensino Superior ⇒ Transformada de Laplace Tópico resolvido

[julianonara]

Usando transformada de Laplace na equação y'' + y' - 2y = 2t encontra-se uma equação em função de t. Demonstre a equação.

Dados:

y(0) = 0
y'(0) = 1

Resposta

---

-[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

- t - [tex3]\frac{1}{2} e^{-2t} + e^{t}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} e^{-2t} + e^{t}[/tex3]

[IgorAM]

[tex3]y''+y'-2y=2t \\ \mathcal{L}(y''+y'-2y)=\mathcal{L}(2t) \\ s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+sY(s)-y(0)-2Y(s)=2\frac{1}{s^2} \\ s^2Y(s)-1+sY(s)-2Y(s)=2\frac{1}{s^2} \\ Y(s)(s^2+s-2)=2\frac{1}{s^2}+1 \\ Y(s)=\frac{1}{s^2+s-2}\left ( \frac{2+s^2}{s^2} \right ) \\ \mathcal{L}^{-1}[Y(s)]=\mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{1}{s^2+s-2}\left ( \frac{2+s^2}{s^2} \right ) \right \} \\ f(t)=-t-\frac{e^{-2t}}{2}+e^t-\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y''+y'-2y=2t \\ \mathcal{L}(y''+y'-2y)=\mathcal{L}(2t) \\ s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+sY(s)-y(0)-2Y(s)=2\frac{1}{s^2} \\ s^2Y(s)-1+sY(s)-2Y(s)=2\frac{1}{s^2} \\ Y(s)(s^2+s-2)=2\frac{1}{s^2}+1 \\ Y(s)=\frac{1}{s^2+s-2}\left ( \frac{2+s^2}{s^2} \right ) \\ \mathcal{L}^{-1}[Y(s)]=\mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{1}{s^2+s-2}\left ( \frac{2+s^2}{s^2} \right ) \right \} \\ f(t)=-t-\frac{e^{-2t}}{2}+e^t-\frac{1}{2}[/tex3]

[julianonara]

Prezado IgorAM, poderia fazer um passo a passo da parte da transformada inversa por favor? Venho tentando fazer aqui mas não encontro o mesmo valor no último termo (-[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

[IgorAM]

[tex3]\mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{1}{s^2+s-2}\left ( \frac{2+s^2}{s^2} \right ) \right \} \\\\ \mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{1}{(s+2)(s-1)}\left ( \frac{2}{s^2}+1 \right ) \right \} \\\\ \mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{2}{s^2(s+2)(s-1)}+\frac{1}{(s+2)(s-1)} \right \} \\\\ \mathcal{L}^{-1}\left \{ -\frac{1}{s^2}-\frac{1}{2s}-\frac{1}{6(s+2)}+\frac{2}{3(s-1)}+\frac{1}{3(s-1)}-\frac{1}{3(s+2)} \right \} \\\\ -t-\frac{1}{2}-\frac{e^{-2t}}{6}+\frac{2e^t}{3}+\frac{e^t}{3}-\frac{e^{-2t}}{3} \\\\ -t-\frac{e^{-2t}}{2}+e^t-\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{1}{s^2+s-2}\left ( \frac{2+s^2}{s^2} \right ) \right \} \\\\ \mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{1}{(s+2)(s-1)}\left ( \frac{2}{s^2}+1 \right ) \right \} \\\\ \mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{2}{s^2(s+2)(s-1)}+\frac{1}{(s+2)(s-1)} \right \} \\\\ \mathcal{L}^{-1}\left \{ -\frac{1}{s^2}-\frac{1}{2s}-\frac{1}{6(s+2)}+\frac{2}{3(s-1)}+\frac{1}{3(s-1)}-\frac{1}{3(s+2)} \right \} \\\\ -t-\frac{1}{2}-\frac{e^{-2t}}{6}+\frac{2e^t}{3}+\frac{e^t}{3}-\frac{e^{-2t}}{3} \\\\ -t-\frac{e^{-2t}}{2}+e^t-\frac{1}{2}[/tex3]