Ensino Superior ⇒ (Guidorizzi) Cálculo I - Limites Trigonométricos Tópico resolvido

[mcarvalho]

a) Prove que existe [tex3]r>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r>0[/tex3]

tal que [tex3]\cos x-1<\frac{\sen x}{x}-1< 0[/tex3]

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[tex3]\cos x-1<\frac{\sen x}{x}-1< 0[/tex3]

para [tex3]0< |x|< r[/tex3]

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[tex3]0< |x|< r[/tex3]

.

b) Calcule [tex3]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sen x}{x^2}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sen x}{x^2}[/tex3]

.

OBS: na letra a) eu apenas cheguei ao ponto de desenvolver a expressão geral para chegar no limite trigonométrico fundamental. Gostaria de saber o que faltava.

Resposta

---

b) 0

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

a) Sabemos que para 0 < | x | < [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

temos [tex3]cos (x) < \frac{sen (x)}{x} < 1[/tex3]

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[tex3]cos (x) < \frac{sen (x)}{x} < 1[/tex3]

e , portanto , [tex3]cos (x)-1 < \frac{sen (x)}{x}-1 < 0.[/tex3]

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[tex3]cos (x)-1 < \frac{sen (x)}{x}-1 < 0.[/tex3]

C.q.p.




b) De ( a ) segue , para 0 < | x | < [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

tem-se [tex3]0 < 1-\frac{sen (x)}{x} < 1-cos(x).[/tex3]

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[tex3]0 < 1-\frac{sen (x)}{x} < 1-cos(x).[/tex3]

Temos

[tex3]\frac{x-sen(x)}{x^2}=\frac{1-\frac{sen (x)}{x}}{x}[/tex3]

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[tex3]\frac{x-sen(x)}{x^2}=\frac{1-\frac{sen (x)}{x}}{x}[/tex3]

.

Segue que

[tex3]0 < \frac{1-\frac{sen (x)}{x}}{x} < \frac{1-cos(x)}{x}[/tex3]

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[tex3]0 < \frac{1-\frac{sen (x)}{x}}{x} < \frac{1-cos(x)}{x}[/tex3]

para 0 < x < [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

e [tex3]\frac{1-cos(x)}{x} < \frac{1-\frac{sen (x)}{x}}{x} < 0[/tex3]

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[tex3]\frac{1-cos(x)}{x} < \frac{1-\frac{sen (x)}{x}}{x} < 0[/tex3]

para [tex3]- \frac{π}{2} < x < 0[/tex3]

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[tex3]- \frac{π}{2} < x < 0[/tex3]

.

Como [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1-cos(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{sen^2(x)}{x.[1+cos (x)]}= \lim_{x \rightarrow \ 0}\left[\frac{sen(x)}{x}.\frac{sen (x)}{1+cos (x)}\right]=1.0=0,[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1-cos(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{sen^2(x)}{x.[1+cos (x)]}= \lim_{x \rightarrow \ 0}\left[\frac{sen(x)}{x}.\frac{sen (x)}{1+cos (x)}\right]=1.0=0,[/tex3]

pelo teorema do confronto, [tex3]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sen (x)}{x^2}=0[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sen (x)}{x^2}=0[/tex3]

.

Nota

É meu amigo, acho melhor você indo se acostumando com esses tipos de questões, elas são bem chatinhas mesmas! A matemática tem esses "truques". Fui!!!!!!!





Bons estudos!

[mcarvalho]

É meu amigo, acho melhor você indo se acostumando com esses tipos de questões, elas são bem chatinhas mesmas! A matemática tem esses "truques".

Sim, com certeza, é o jeito haha

Muito obrigado!

[Cardoso1979]

Muito obrigado!

Disponha