Ensino Superior

MariaDoarda

Boa tarde, poderiam dar uma ajuda nessa questão? Estou sem gabarito.

Encontre e apresente a base e a dimensão do subespaço W do R³

[tex3]W = \{(x,y,z) | z = 2x\}[/tex3]

O que este representa geometricamente?

Obrigada desde já!

[tex3]W=\{(x,y,z)|z=2x\}[/tex3]

[tex3](x,y,z)\in W\implies (x,y,z)=(x,y,2x)=(x,0,2x)+(0,y,0)=x(1,0,2)+y(0,1,0)[/tex3]

[tex3]\implies W\subset[(1,0,2),(0,1,0)][/tex3]

Note que [tex3]2=2\cdot 1\implies (1,0,2)\in W[/tex3] e [tex3]0=2\cdot 0\implies (0,1,0)\in W[/tex3] .

[tex3]\implies [(1,0,2),(0,1,0)]\subset W[/tex3]

[tex3]\implies [(1,0,2),(0,1,0)]=W[/tex3] .

Dessa forma, [tex3]\{(1,0,2),(0,1,0)\}[/tex3] é um conjunto gerador de [tex3]W[/tex3] , para que ele seja base basta ser LI.

Sejam [tex3]a,b\in\mathbb R[/tex3] tais que

[tex3]a(1,0,2)+b(0,1,0)=(0,0,0)\\\implies(a,b,2a)=(0,0,0)\\
\implies a=b=0[/tex3] .

Logo, [tex3]\{(1,0,2),(0,1,0)\}[/tex3] é LI.

[tex3]\therefore \{(1,0,2),(0,1,0)\}[/tex3] é base de [tex3]W[/tex3] e consequentemente [tex3]\dim W=2[/tex3] .

[tex3]W[/tex3] é um conjunto do [tex3]\mathbb R^3[/tex3] gerado por dois vetores linearmente independentes então [tex3]W[/tex3] é um plano.

Espero ter ajudado

.

MariaDoarda

Muito obrigada!! Ajudou bastante

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