Ensino SuperiorCilindro Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
Master
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Nov 2008 09 21:24

Cilindro

Mensagem não lida por Master »

Um cilindro tem para diretriz a curva [tex3]\begin{cases}x^2+y^2=4 \\ x-y=0\end{cases}[/tex3] e suas geratrizes são perpendiculares ao plano da diretriz. Determine sua equação

Resposta

Resposta:
[tex3]x^2+y^2+2xy-8z=0[/tex3]

Última edição: MateusQqMD (Seg 08 Ago, 2022 12:46). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 4008
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 04-04-23
Localização: Teresina- PI
Ago 2022 07 16:56

Re: Cilindro

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

Aqui você terá que lembrar da condição de ortogonalidade de reta e plano.

Um vetor normal ao plano π é:

[tex3]\vec{n}[/tex3] = ( 1 , - 1 , 0 ).

Obs. Recordando que, se uma reta é perpendicular a um plano, então o vetor normal ao plano é paralelo ao vetor diretor da reta.

Então,

{ x = X + 1.t
{ y = Y - 1.t
{ z = Z + 0.t

A diretriz é representada pelas equações

.....{ x² + y² = 4
d : {
.....{ x - y = 0

Substituindo as equações paramétricas em d, vem

{ ( X + t )² + ( Y - t )² = 4 ( I )
{ X + t - Y + t = 0 → t = ( Y - X )/2

Substituindo o valor de t em ( I ) , temos

[ ( 2X - X + Y )/2 ]² + [ ( 2Y - Y + X )/2 ]² = 4

[ ( X + Y )²/4 ] + [ ( X + Y )²/4 ] = 4

X² + 2XY + Y² + X² + 2XY + Y² = 4.4

2.X² + 2.Y² + 4.XY = 2.2.4

X² + Y² + 2XY = 8

X² + Y² + 2XY - 8 = 0

Ou se preferir,

x² + y² + 2xy - 8 = 0.

Portanto, x² + y² + 2xy - 8 = 0.

Nota

Analisando a curva x² + y² + 2xy - 8 = 0 , na realidade trata-se de um par de retas paralelas... Suponho que o enunciado contenha erro , pode ser que eu tenha me equivocado em algo também, depois eu olho com mais calma!



Excelente estudo!

Última edição: Cardoso1979 (Dom 07 Ago, 2022 19:05). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 4008
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 04-04-23
Localização: Teresina- PI
Ago 2022 11 20:04

Re: Cilindro

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Como eu havia prometido, analisando com mais calma, de fato x² + y² + 2xy - 8 = 0 , trata-se de um cilindro , porém, o gabarito postado por você contém erro!

Explicação:

Como a equação x² + y² + 2xy - 8 = 0( sempre trabalhando no IR³ ) não contém termos em z , seu gráfico é um cilindro com diretriz no plano x - y = 0 . Essa diretriz é constituída do par de retas paralelas

• x + y - 2√2 = 0

• x + y + 2√2 = 0 ,

contidas no plano x - y = 0. Esse cilindro não possui denominação especial.



Obs. O gráfico ficará por sua conta , vou apenas dá um exemplo com outro cilindro, daí você irá se basear por ele 👍


Exemplo:

Temos o cilindro x² = y² ( estamos trabalhando no espaço do IR³ ) , como a equação x² = y² não contém termos em z , seu gráfico é um cilindro com diretriz no plano xOy . Essa diretriz é constituída do par de retas

• x = y

• x = - y ,

contidas no plano xOy. Este cilindro não possui denominação especial.

Graficamente:
Screenshot_20220811-194129-510.png
Screenshot_20220811-194129-510.png (35.35 KiB) Exibido 277 vezes


Pois é, por incrível que pareça é um cilindro! 😃


Excelente estudo!




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Superior”