Sejam [tex3]f[/tex3]
e [tex3]g[/tex3]
definidas em R com [tex3]g(x)\neq0[/tex3]
para todo [tex3]x[/tex3]
. Suponha que [tex3]\lim_{x\rightarrow p}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0[/tex3]
. Prove que existe [tex3]\delta>0[/tex3]
tal que:
[tex3]0< |x-p|< \delta\implies |f(x)|<|g(x)|[/tex3]
.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ (Guidorizzi) Cálculo I - Limites Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
mcarvalho
- Mensagens: 553
- Registrado em: 12 Abr 2019, 15:13
- Última visita: 21-10-23
- Agradeceu: 36 vezes
- Agradeceram: 77 vezes
Abr 2020
12
13:16
(Guidorizzi) Cálculo I - Limites
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
Alan Guth
-
Cardoso1979
- Mensagens: 4008
- Registrado em: 05 Jan 2018, 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
- Agradeceu: 268 vezes
- Agradeceram: 1109 vezes
Abr 2020
12
14:36
Re: (Guidorizzi) Cálculo I - Limites
Observe
Prova:
Da definição precisa de limites, temos
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ a}f(x)=L[/tex3]
Se para todo número [tex3]\varepsilon > 0[/tex3] houver um número [tex3]\delta > 0[/tex3] tal que , se [tex3]0 < |x-a| < \delta [/tex3] então [tex3]|f(x) - L| < \varepsilon [/tex3]
Vamos supor que [tex3]\delta > 0[/tex3] , e fazendo com que [tex3]\varepsilon = 1[/tex3] , dividindo a desigualdade | f( x ) | < | g( x ) | por | g( x ) | , vem;
[tex3]\frac{|f(x)|}{|g(x)|} < \frac{|g(x)|}{|g(x)|}⇔
\frac{|f(x)|}{|g(x)|} < 1 ⇔ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-0\right| < 1[/tex3]
Então, podemos inferir que:
[tex3]f(x)=\frac{f(x)}{g(x)}[/tex3] e L = 0.
Assim, temos que [tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{f(x)}{g(x)}=0[/tex3] e pela definição de limites a suposição feita por nós está correta! C.q.p.
Bons estudos!
Prova:
Da definição precisa de limites, temos
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ a}f(x)=L[/tex3]
Se para todo número [tex3]\varepsilon > 0[/tex3] houver um número [tex3]\delta > 0[/tex3] tal que , se [tex3]0 < |x-a| < \delta [/tex3] então [tex3]|f(x) - L| < \varepsilon [/tex3]
Vamos supor que [tex3]\delta > 0[/tex3] , e fazendo com que [tex3]\varepsilon = 1[/tex3] , dividindo a desigualdade | f( x ) | < | g( x ) | por | g( x ) | , vem;
[tex3]\frac{|f(x)|}{|g(x)|} < \frac{|g(x)|}{|g(x)|}⇔
\frac{|f(x)|}{|g(x)|} < 1 ⇔ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-0\right| < 1[/tex3]
Então, podemos inferir que:
[tex3]f(x)=\frac{f(x)}{g(x)}[/tex3] e L = 0.
Assim, temos que [tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{f(x)}{g(x)}=0[/tex3] e pela definição de limites a suposição feita por nós está correta! C.q.p.
Bons estudos!
-
mcarvalho
- Mensagens: 553
- Registrado em: 12 Abr 2019, 15:13
- Última visita: 21-10-23
- Agradeceu: 36 vezes
- Agradeceram: 77 vezes
Abr 2020
12
16:10
Re: (Guidorizzi) Cálculo I - Limites
Cardoso1979, obrigado!
Aproveito para perguntar algo que tem me deixado com um pouco de dúvida, e que você usou na sua resolução:
Eu entendo quando atribuímos um valor específico ao [tex3]\delta[/tex3] , afinal, se houver um só [tex3]\delta[/tex3] que funcione, já está bom, mas não entendo quando fazemos isso com o [tex3]\varepsilon[/tex3] . Nas aulas que estou acompanhando no YouTube o professor também usou repetidas vezes esse artifício para provar alguns teoremas de continuidade (o de que [tex3]f+g[/tex3] é contínuo se [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] forem contínuos, por exemplo).
Aproveito para perguntar algo que tem me deixado com um pouco de dúvida, e que você usou na sua resolução:
Por que é válido fazer isso? Quer dizer, a definição (tanto de limite quanto de continuidade) diz que se deve achar um [tex3]\delta >0[/tex3] que satisfaça qualquer [tex3]\varepsilon >0[/tex3] , não é? A sua resolução está funcionando para [tex3]\varepsilon =1[/tex3] , mas e para outros valores de [tex3]\epsilon[/tex3] ? Funcionará? Não funcionará? Não importa?
Eu entendo quando atribuímos um valor específico ao [tex3]\delta[/tex3] , afinal, se houver um só [tex3]\delta[/tex3] que funcione, já está bom, mas não entendo quando fazemos isso com o [tex3]\varepsilon[/tex3] . Nas aulas que estou acompanhando no YouTube o professor também usou repetidas vezes esse artifício para provar alguns teoremas de continuidade (o de que [tex3]f+g[/tex3] é contínuo se [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] forem contínuos, por exemplo).
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
Alan Guth
-
Cardoso1979
- Mensagens: 4008
- Registrado em: 05 Jan 2018, 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
- Agradeceu: 268 vezes
- Agradeceram: 1109 vezes
Abr 2020
12
16:43
Re: (Guidorizzi) Cálculo I - Limites
mcarvalho escreveu: ↑12 Abr 2020, 16:10 Cardoso1979, obrigado!
Aproveito para perguntar algo que tem me deixado com um pouco de dúvida, e que você usou na sua resolução:
Por que é válido fazer isso? Quer dizer, a definição (tanto de limite quanto de continuidade) diz que se deve achar um [tex3]\delta >0[/tex3] que satisfaça qualquer [tex3]\varepsilon >0[/tex3] , não é? A sua resolução está funcionando para [tex3]\varepsilon =1[/tex3] , mas e para outros valores de [tex3]\epsilon[/tex3] ? Funcionará? Não funcionará? Não importa?
Eu entendo quando atribuímos um valor específico ao [tex3]\delta[/tex3] , afinal, se houver um só [tex3]\delta[/tex3] que funcione, já está bom, mas não entendo quando fazemos isso com o [tex3]\varepsilon[/tex3] . Nas aulas que estou acompanhando no YouTube o professor também usou repetidas vezes esse artifício para provar alguns teoremas de continuidade (o de que [tex3]f+g[/tex3] é contínuo se [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] forem contínuos, por exemplo).
Note que eu supôs, para esses tipos de questões a gente procede dessa maneira, isso para que a suposição se encaixe na solução ( prova ) , é tipo um "ajuste".
Abraços!
-
Cardoso1979
- Mensagens: 4008
- Registrado em: 05 Jan 2018, 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
- Agradeceu: 268 vezes
- Agradeceram: 1109 vezes
Abr 2020
12
16:48
Re: (Guidorizzi) Cálculo I - Limites
Você irá se deparar com várias suposições desse tipo em várias situações de exercícios, com muita prática( resolvendo exercícios ) você irá se habituar
Abraços!
Abraços!
-
Cardoso1979
- Mensagens: 4008
- Registrado em: 05 Jan 2018, 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
- Agradeceu: 268 vezes
- Agradeceram: 1109 vezes
Abr 2020
12
16:52
Re: (Guidorizzi) Cálculo I - Limites
Para ser sincero com você, nunca vi uma questão com uma prova que a suposição traga um [tex3]\varepsilon = 2 [/tex3]
ou [tex3]\varepsilon = 3[/tex3]
....
-
mcarvalho
- Mensagens: 553
- Registrado em: 12 Abr 2019, 15:13
- Última visita: 21-10-23
- Agradeceu: 36 vezes
- Agradeceram: 77 vezes
Abr 2020
12
17:10
Re: (Guidorizzi) Cálculo I - Limites
Cardoso1979, certinho, obrigado! Agora é fazer o que você disse, me empaturrar de exercício e ver no que dá hahah
Abraço!
Abraço!
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
Alan Guth
-
Cardoso1979
- Mensagens: 4008
- Registrado em: 05 Jan 2018, 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
- Agradeceu: 268 vezes
- Agradeceram: 1109 vezes
-
DanielDC
- Mensagens: 66
- Registrado em: 19 Set 2019, 12:50
- Última visita: 30-01-23
- Agradeceu: 17 vezes
- Agradeceram: 38 vezes
Abr 2020
15
20:08
Re: (Guidorizzi) Cálculo I - Limites
Talvez assim fique mais claro.
Note que o limite [tex3]\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)}{g(x)}=0[/tex3] . Logo, essa hipótese nos dá que para todo [tex3]\epsilon[/tex3] dado (ou seja, você pode escolher o [tex3]\epsilon[/tex3] que for conveniente), existe [tex3]\delta[/tex3] tal que [tex3]\Bigg|\frac{f(x)}{g(x)}-0\Bigg|<\epsilon[/tex3] . Logo, pegando [tex3]\epsilon=1[/tex3] , existe [tex3]\delta[/tex3] * no intervalo em questão tal que, [tex3]\Bigg|\frac{f(x)}{g(x)}-0\Bigg|<1\implies \Bigg|\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg|<1\implies |f(x)|< |g(x)|[/tex3] . Logo o [tex3]\delta[/tex3] * existe para que a desigualdade queríamos mostrar aconteça.
Note que o limite [tex3]\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)}{g(x)}=0[/tex3] . Logo, essa hipótese nos dá que para todo [tex3]\epsilon[/tex3] dado (ou seja, você pode escolher o [tex3]\epsilon[/tex3] que for conveniente), existe [tex3]\delta[/tex3] tal que [tex3]\Bigg|\frac{f(x)}{g(x)}-0\Bigg|<\epsilon[/tex3] . Logo, pegando [tex3]\epsilon=1[/tex3] , existe [tex3]\delta[/tex3] * no intervalo em questão tal que, [tex3]\Bigg|\frac{f(x)}{g(x)}-0\Bigg|<1\implies \Bigg|\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg|<1\implies |f(x)|< |g(x)|[/tex3] . Logo o [tex3]\delta[/tex3] * existe para que a desigualdade queríamos mostrar aconteça.
-
mcarvalho
- Mensagens: 553
- Registrado em: 12 Abr 2019, 15:13
- Última visita: 21-10-23
- Agradeceu: 36 vezes
- Agradeceram: 77 vezes
Abr 2020
15
20:56
Re: (Guidorizzi) Cálculo I - Limites
DanielDC, obrigado! Clareou, sim!
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
Alan Guth
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 2 Respostas
- 1196 Exibições
-
Última mensagem por mcarvalho
-
- 3 Respostas
- 1183 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 3 Respostas
- 1058 Exibições
-
Última mensagem por snooplammer
-
- 1 Respostas
- 206 Exibições
-
Última mensagem por jedi
-
- 1 Respostas
- 1217 Exibições
-
Última mensagem por Andre13000
