Calcule a base do núcleo e da imagem da seguinte transformação Linear.
T : R 3 → R 3 , T(x, y, z) = (x − z, x + 2z, y + 3z);
Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear Tópico resolvido
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Abr 2020
07
18:42
Re: Álgebra Linear
Observe
Uma solução:
Vamos determinar primeiramente o núcleo e a imagem desta transformação linear, temos
No núcleo da transformação estão todos os elementos do IR³ que são transformados no elemento neutro do IR³ pela transformação T, ou seja :
T( x , y , z ) = ( x - z , x + 2z , y + 3z ) = ( 0 , 0 , 0 ) ⇔
[tex3]\begin{cases}
x-z=0 \\
x+2z=0 \\
y+3z=0
\end{cases}[/tex3] ⇒
[tex3]\begin{cases}
x=z \\
z+2z=0 \\
y+3z=0
\end{cases}[/tex3] ⇒
[tex3]\begin{cases}
x=0 \\
z=0 \\
y=0
\end{cases}[/tex3]
Então, N( T ) = [ ( 0 , 0 , 0 ) ].
Obs. O núcleo da transformação é dada pelo conjunto Nuc ( T ) = { v ∈ IR³ : T( v ) = 0 }.
Assim, uma base para o núcleo da transformação dada é [tex3]\alpha =\{(0,0,0)\}[/tex3] .
Por outro lado, um elemento do contra-dominio IR³ pertence a imagem de T se for da forma:
[tex3](x-z, \ x+2z, \ y+3z)=x.(1,1,0)+y.(0,0,1)+z.(-1,2,3)[/tex3]
Então, Im ( T ) = [ ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( - 1 , 2 , 3 ) ]. Podemos ver facilmente que esse conjunto de geradores é L.I. e portanto, [tex3]\beta = \{(1,1,0),(0,0,1),(-1,2,3)\}[/tex3] é uma base para Im ( T ).
Obs. Se você considerar a matriz A da transformação, ou seja ,
[tex3]A=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 1 && 0 \\
0 &&& 0 && 1\\
-1 &&& 2 && 3
\end{array} \right][/tex3]
e escaloná-la( ficará como exercício para você ) , você encontrará como uma possível base para Im( T ) que é [tex3]\beta = \{(1,1,0),(0,3,3),(-1,2,3)\}[/tex3] ou [tex3]\beta = \{(-1,2,3),(0,3,3),0,0,1)\}[/tex3] , ambas estão corretas!
Bons estudos!
Uma solução:
Vamos determinar primeiramente o núcleo e a imagem desta transformação linear, temos
No núcleo da transformação estão todos os elementos do IR³ que são transformados no elemento neutro do IR³ pela transformação T, ou seja :
T( x , y , z ) = ( x - z , x + 2z , y + 3z ) = ( 0 , 0 , 0 ) ⇔
[tex3]\begin{cases}
x-z=0 \\
x+2z=0 \\
y+3z=0
\end{cases}[/tex3] ⇒
[tex3]\begin{cases}
x=z \\
z+2z=0 \\
y+3z=0
\end{cases}[/tex3] ⇒
[tex3]\begin{cases}
x=0 \\
z=0 \\
y=0
\end{cases}[/tex3]
Então, N( T ) = [ ( 0 , 0 , 0 ) ].
Obs. O núcleo da transformação é dada pelo conjunto Nuc ( T ) = { v ∈ IR³ : T( v ) = 0 }.
Assim, uma base para o núcleo da transformação dada é [tex3]\alpha =\{(0,0,0)\}[/tex3] .
Por outro lado, um elemento do contra-dominio IR³ pertence a imagem de T se for da forma:
[tex3](x-z, \ x+2z, \ y+3z)=x.(1,1,0)+y.(0,0,1)+z.(-1,2,3)[/tex3]
Então, Im ( T ) = [ ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( - 1 , 2 , 3 ) ]. Podemos ver facilmente que esse conjunto de geradores é L.I. e portanto, [tex3]\beta = \{(1,1,0),(0,0,1),(-1,2,3)\}[/tex3] é uma base para Im ( T ).
Obs. Se você considerar a matriz A da transformação, ou seja ,
[tex3]A=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 1 && 0 \\
0 &&& 0 && 1\\
-1 &&& 2 && 3
\end{array} \right][/tex3]
e escaloná-la( ficará como exercício para você ) , você encontrará como uma possível base para Im( T ) que é [tex3]\beta = \{(1,1,0),(0,3,3),(-1,2,3)\}[/tex3] ou [tex3]\beta = \{(-1,2,3),(0,3,3),0,0,1)\}[/tex3] , ambas estão corretas!
Bons estudos!
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Abr 2020
09
14:46
Re: Álgebra Linear
CORREÇÃO:
Como o sistema tem uma solução única [tex3]S_{o}=\{(0,0,0)\}[/tex3] temos que, o núcleo de T é N( T ) = [ ( 0 , 0 , 0 ) ] , logo , N( T ) tem dimensão zero e NÃO admite nenhuma base.
Obs. O núcleo da transformação é dada pelo conjunto Nuc ( T ) = { v ∈ IR³ : T( v ) = 0 }.
Nota
Desconsidere esta parte :
Assim, uma base para o núcleo da transformação dada é [tex3]\alpha =\{(0,0,0)\}[/tex3] , pois está ERRADA.
Bons estudos!
Como o sistema tem uma solução única [tex3]S_{o}=\{(0,0,0)\}[/tex3] temos que, o núcleo de T é N( T ) = [ ( 0 , 0 , 0 ) ] , logo , N( T ) tem dimensão zero e NÃO admite nenhuma base.
Obs. O núcleo da transformação é dada pelo conjunto Nuc ( T ) = { v ∈ IR³ : T( v ) = 0 }.
Nota
Desconsidere esta parte :
Assim, uma base para o núcleo da transformação dada é [tex3]\alpha =\{(0,0,0)\}[/tex3] , pois está ERRADA.
Bons estudos!
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