Olá pessoal do tutor Brasil, primeiro de tudo: obrigado pela ajuda, vcs me ajudaram a crescer bastante no meu aprendizado em matemática.
Agora eu estou com um problema.
Eu venho tentando estudar séries de potência para resolver Edo's, porém eu não tive muito êxito, por isso preciso de ajuda.
Meu primeiro problema é:
A equação de primeira ordem:
[tex3]y" - y = 0[/tex3]
Resolvendo de forma usual, pelo método da equação característica, eu tenho a seguinte resposta:
[tex3]y = c1 e[/tex3]
[tex3]-x[/tex3][tex3]+c2e[/tex3]
[tex3]x[/tex3].
Porém, ao resolver pelo método de S.d.P., a solução fica:
[tex3]y = ∑ a[/tex3]
[tex3]0[/tex3][tex3]/(2n)! x[/tex3]
[tex3]n[/tex3][tex3]+ ∑ a[/tex3]
[tex3]1[/tex3][tex3]/(2n+1)! x[/tex3]
[tex3]n[/tex3].
É correto dizer q ao = c1? Ou que a1 = c2? E vice versa?
E como explicar qual das 2 séries de potências é [tex3]e[/tex3]
[tex3]-x[/tex3], por exemplo?
Ensino Superior ⇒ Soluções de edo por S.d.P. Tópico resolvido
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Abr 2020
07
16:13
Re: Soluções de edo por S.d.P.
Olá Shadowgal99, você se equivocou , na verdade a resposta correta é:
[tex3]y(x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_{0}x^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_{1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex3]
Ou
[tex3]y(x)=a_{0}.\sum_{n=0}^{∞}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+a_{1}.\sum_{n=0}^{∞}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex3]
Ou
[tex3]y(x)=a_{0}.cosh(x)+a_{1}.senh (x)[/tex3] ( caso você tenha estudado as funções hiperbólicas )
Aqui eu posso afirmar que [tex3]a_{0}=a_{0}[/tex3] e [tex3]a_{1}=a_{1}[/tex3] .
Obs.1
Ao resolver a mesma EDO dada através do método da equação característica, obtemos:
[tex3]y(x)=C_{1}.e^x + C_{2}.e^{-x}[/tex3]
Ou
[tex3]y(x)=C_{1}.e^{-x} + C_{2}.e^{x}[/tex3]
Obs.2
Ao desenvolver a função [tex3]e^{x}[/tex3] em série de potência em torno do ponto [tex3]x_{0}=0[/tex3] , você irá obter :
[tex3]\sum_{n=0}^{∞}\frac{C_{1}.x^n}{n!}[/tex3] ou [tex3]C_{1}.\sum_{n=0}^{∞}\frac{x^n}{n!}[/tex3] , então , no meu ponto de vista não posso afirmar que [tex3]C_{1}=a_{0}[/tex3] , a não ser que ao fazermos alguma manipulação algébrica pode acontecer ( coincidência ) de [tex3]C_{1}=a_{0}[/tex3] . Não vou lhe garantir da certeza de 100% com relação a essa situação, pois , nunca vi em livro algum sobre esse tipo de questionamento. No meu entender , isso não ocorre! O que de certeza que eu tenho é que ambas as respostas estão corretas, ou seja , tanto a resposta usando o método da equação característica como o método da série de potência, o que é mais importante.
Bons estudos!
[tex3]y(x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_{0}x^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_{1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex3]
Ou
[tex3]y(x)=a_{0}.\sum_{n=0}^{∞}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+a_{1}.\sum_{n=0}^{∞}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex3]
Ou
[tex3]y(x)=a_{0}.cosh(x)+a_{1}.senh (x)[/tex3] ( caso você tenha estudado as funções hiperbólicas )
Aqui eu posso afirmar que [tex3]a_{0}=a_{0}[/tex3] e [tex3]a_{1}=a_{1}[/tex3] .
Obs.1
Ao resolver a mesma EDO dada através do método da equação característica, obtemos:
[tex3]y(x)=C_{1}.e^x + C_{2}.e^{-x}[/tex3]
Ou
[tex3]y(x)=C_{1}.e^{-x} + C_{2}.e^{x}[/tex3]
Obs.2
Ao desenvolver a função [tex3]e^{x}[/tex3] em série de potência em torno do ponto [tex3]x_{0}=0[/tex3] , você irá obter :
[tex3]\sum_{n=0}^{∞}\frac{C_{1}.x^n}{n!}[/tex3] ou [tex3]C_{1}.\sum_{n=0}^{∞}\frac{x^n}{n!}[/tex3] , então , no meu ponto de vista não posso afirmar que [tex3]C_{1}=a_{0}[/tex3] , a não ser que ao fazermos alguma manipulação algébrica pode acontecer ( coincidência ) de [tex3]C_{1}=a_{0}[/tex3] . Não vou lhe garantir da certeza de 100% com relação a essa situação, pois , nunca vi em livro algum sobre esse tipo de questionamento. No meu entender , isso não ocorre! O que de certeza que eu tenho é que ambas as respostas estão corretas, ou seja , tanto a resposta usando o método da equação característica como o método da série de potência, o que é mais importante.
Bons estudos!
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Abr 2020
07
17:01
Re: Soluções de edo por S.d.P.
Muito obrigado! Eu realmente não sabia a forma SdP de coshx e senhx
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