Ensino SuperiorConvergência de uma série Tópico resolvido

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julianonara
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Abr 2020 05 23:24

Convergência de uma série

Mensagem não lida por julianonara »

Analise as séries abaixo e indique quais são convergentes:

a) [tex3]\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\sqrt[]{n²-1}}[/tex3]

b) [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+2}[/tex3]

c) [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[]{n²+4n}}[/tex3]
Resposta

Somente a primeira converge.




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Cardoso1979
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Abr 2020 07 20:05

Re: Convergência de uma série

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

Usando o teste da comparação, e considerando [tex3]b_{n}=\frac{1}{n^2}[/tex3] , ou seja , a série [tex3]\sum_{}^{}b_{n}[/tex3] , a série converge , pois , p = 2 ; p > 1 , então , vamos verificar se

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} > 0[/tex3] , caso seja , ambas convergem e consequentemente a série dada( a ) também convergirá.

Vem,

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n\sqrt{n^2-1}}}{\frac{1}{n^2}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\left(
\frac{1}{n\sqrt{n^2-1}}.\frac{n^2}{1}\right)=[/tex3]

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}
\frac{n}{\sqrt{n^2-1}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}
\frac{n}{\sqrt{n^2.\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}
\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}.\sqrt{\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}
\frac{1}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{∞^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{∞}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{1}=1[/tex3]

Logo,

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =1 > 0[/tex3] .

Portanto, podemos concluir que a série
[tex3]\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\sqrt[]{n²-1}}[/tex3] converge!


Nota

Ao aplicar o método da comparação em b) e em c) você irá verificar que ambas divergem , ficará como exercício para você 👍.




Bons estudos!




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