Observe
Uma solução:
Usando o teste da comparação, e considerando [tex3]b_{n}=\frac{1}{n^2}[/tex3]
, ou seja , a série [tex3]\sum_{}^{}b_{n}[/tex3]
, a série converge , pois , p = 2 ; p > 1 , então , vamos verificar se
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} > 0[/tex3]
, caso seja , ambas convergem e consequentemente a série dada( a ) também convergirá.
Vem,
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n\sqrt{n^2-1}}}{\frac{1}{n^2}}=[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\left(
\frac{1}{n\sqrt{n^2-1}}.\frac{n^2}{1}\right)=[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}
\frac{n}{\sqrt{n^2-1}}=[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}
\frac{n}{\sqrt{n^2.\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}}=[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}
\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}.\sqrt{\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}}=[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}
\frac{1}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{∞^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{∞}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{1}=1[/tex3]
Logo,
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =1 > 0[/tex3]
.
Portanto, podemos concluir que a série
[tex3]\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\sqrt[]{n²-1}}[/tex3]
converge!
Nota
Ao aplicar o método da comparação em b) e em c) você irá verificar que ambas divergem , ficará como exercício para você
.
Bons estudos!