Ensino Superior ⇒ Algebra Linear Tópico resolvido

[TioRafa]

Estou fazendo a decomposição espectral da matriz [tex3]A =\begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A =\begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Eu encontrei os seguinte autovalores: [tex3]\lambda 1 = 1; \lambda 2 = -1; \lambda 3 = -1; [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lambda 1 = 1; \lambda 2 = -1; \lambda 3 = -1; [/tex3]

Mas estou tendo dificuldades para encontrar os autovetores. Alguém pode me ajudar?

[Planck]

Olá, TioRafa.

O polinômio característico fornece a seguinte equação cúbica:

[tex3]\begin{align}
-\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda + 1 &= 0 \\
-\lambda^2 \cdot ( \lambda + 1) + \lambda +1 &=0 \\
(\lambda + 1)\cdot (-\lambda^2 + 1) & =0 \\
\end{align}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{align}
-\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda + 1 &= 0 \\
-\lambda^2 \cdot ( \lambda + 1) + \lambda +1 &=0 \\
(\lambda + 1)\cdot (-\lambda^2 + 1) & =0 \\
\end{align}[/tex3]

Note que obtemos os autovalores [tex3]\lambda_1 = 1,~ \lambda_2 = \lambda_3 = -1.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lambda_1 = 1,~ \lambda_2 = \lambda_3 = -1.[/tex3]

Para cada autovalor, teremos o autovetor correspondente:

[tex3]\lambda = 1 \implies \left(\begin{array}{ccc | c}
-1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & -2 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & -1 & 0
\end{array}\right) \rightarrow \begin{cases} \text L_1 \times (-1)\\ \text L_3 - \text L_1 \times (-1) \\
\text L_2 / (-2)
\end{cases} \implies \left(\begin{array}{ccc | c}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\\0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lambda = 1 \implies \left(\begin{array}{ccc | c}
-1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & -2 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & -1 & 0
\end{array}\right) \rightarrow \begin{cases} \text L_1 \times (-1)\\ \text L_3 - \text L_1 \times (-1) \\
\text L_2 / (-2)
\end{cases} \implies \left(\begin{array}{ccc | c}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\\0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)[/tex3]

Disso, vem que:

[tex3]\begin{cases}
x+ z = 0 \\
y = 0
\end{cases} \implies y = 0,~ x =- z \implies \vec {\text v_1} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x+ z = 0 \\
y = 0
\end{cases} \implies y = 0,~ x =- z \implies \vec {\text v_1} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) [/tex3]

Repita a mesma ideia para [tex3]\lambda = -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lambda = -1[/tex3]

.


Referências:

Autovetores e Autovalores. Wikipedia. Disponível em: <https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Autoval ... utovetores>. Acesso em 4 de abril de 2020.

Algoritmo de autovalor. Wikipedia. Disponível em: <https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_autovalor>. Acesso em 4 de abril de 2020.

HOFFMAN, Kenneth; KUNZE, Ray (1976). Álgebra Linear 1 ed. Rio de Janeiro: LTC. 356 páginas