Ensino Superior ⇒ Limite (semi-resolvida) Tópico resolvido

[Aprendente]

Sendo [tex3]f(x)=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2+x-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2+x-2}[/tex3]

, determine os valores das constantes [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

, [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

, [tex3]c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c[/tex3]

e [tex3]d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d[/tex3]

, sabendo-se que [tex3]\lim_{x\to\infty}f(x)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to\infty}f(x)=1[/tex3]

e [tex3]\lim_{x\to 1}f(x)=-[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to 1}f(x)=-[/tex3]

.

[tex3]a=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=0[/tex3]

, [tex3]b=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=1[/tex3]

, [tex3]c=-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c=-2[/tex3]

e [tex3]d=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d=1[/tex3]

Ao aplicar o limite de f(x) com x tendendo ao infinito positivo, dividi o numerador e denominador por x^2 e encontrei ax + b. Como esse limite equivale a 1, "a" tem que ser igual a 0 e b tem que ser igual a 1 (a=0 e b=1). Preciso de ajuda para encontrar os coeficientes "c" e "d", por favor. De forma antecipada, agradeço pela ajuda.

Última!

[Tassandro]

Aprendente,

Note que se substituirmos [tex3]x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=1[/tex3]

o denominador vai dar 0, assim, como o [tex3]\lim_{x\to1}\neq\infty,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to1}\neq\infty,[/tex3]

temos que o numerador também deverá tender a 0 quando substituirmos x por q, pois podemos afirmar que 1 é raiz do polinômio do numerador. Sendo assim, e usando que a=0 e b=1, ficamos com [tex3]\lim_{x\to1}\frac{x^2+cx+d}{x^2+x+2}=0\implies \lim_{x\to1}x^2+cx+d=0\implies 1+c+d=0\implies c+d=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to1}\frac{x^2+cx+d}{x^2+x+2}=0\implies \lim_{x\to1}x^2+cx+d=0\implies 1+c+d=0\implies c+d=-1[/tex3]

Agora, usando que 1 é raiz, vamos descobrir a outra raiz do polinômio do denominador:
[tex3]x^2+x-2=0\implies (x+2)(x-1)=0\implies x=-2\text{ é a raiz que procurávamos}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+x-2=0\implies (x+2)(x-1)=0\implies x=-2\text{ é a raiz que procurávamos}[/tex3]

Logo, após dividir numerador e denominador por [tex3]x-1,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-1,[/tex3]

nós vamos achar a outra raiz do polinômio do numerador, afinal, já sabemos 1, só falta outra.
[tex3]\lim_{x\to1}\frac{x-x_2}{x+2}=0\implies \frac{1-x_2}{1-2}=0\therefore x_2=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to1}\frac{x-x_2}{x+2}=0\implies \frac{1-x_2}{1-2}=0\therefore x_2=1[/tex3]

Logo, as raízes do polinômio do numerador são coincidentes, ambas são 1, assim, o seu produto vale [tex3]1\implies \boxed{d=1\implies c=-2 }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1\implies \boxed{d=1\implies c=-2 }[/tex3]

Espero ter ajudado!

[Aprendente]

Aprendente,

Note que se substituirmos [tex3]x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=1[/tex3]

o denominador vai dar 0, assim, como o [tex3]\lim_{x\to1}\neq\infty,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to1}\neq\infty,[/tex3]

temos que o numerador também deverá tender a 0 quando substituirmos x por q, pois podemos afirmar que 1 é raiz do polinômio do numerador. Sendo assim, e usando que a=0 e b=1, ficamos com [tex3]\lim_{x\to1}\frac{x^2+cx+d}{x^2+x+2}=0\implies \lim_{x\to1}x^2+cx+d=0\implies 1+c+d=0\implies c+d=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to1}\frac{x^2+cx+d}{x^2+x+2}=0\implies \lim_{x\to1}x^2+cx+d=0\implies 1+c+d=0\implies c+d=-1[/tex3]

Agora, usando que 1 é raiz, vamos descobrir a outra raiz do polinômio do denominador:
[tex3]x^2+x-2=0\implies (x+2)(x-1)=0\implies x=-2\text{ é a raiz que procurávamos}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+x-2=0\implies (x+2)(x-1)=0\implies x=-2\text{ é a raiz que procurávamos}[/tex3]

Logo, após dividir numerador e denominador por [tex3]x-1,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-1,[/tex3]

nós vamos achar a outra raiz do polinômio do numerador, afinal, já sabemos 1, só falta outra.
[tex3]\lim_{x\to1}\frac{x-x_2}{x+2}=0\implies \frac{1-x_2}{1-2}=0\therefore x_2=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to1}\frac{x-x_2}{x+2}=0\implies \frac{1-x_2}{1-2}=0\therefore x_2=1[/tex3]

Logo, as raízes do polinômio do numerador são coincidentes, ambas são 1, assim, o seu produto vale [tex3]1\implies \boxed{d=1\implies c=-2 }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1\implies \boxed{d=1\implies c=-2 }[/tex3]

Espero ter ajudado!

Muito obrigado por sua ajuda nessas questões!! Que você obtenha êxito na carreira que pretende seguir. Sucesso!
Tassandro