Calcule a integral [tex3]\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2 }}^{\sqrt{ 4-x^2}}\int_0^{\sqrt{x^2+y^2 }}(x^2+y^2+z^2)dzdydx[/tex3]
usando a transformação coordenadas esféricas.
Gabarito: [tex3]\frac{256 \pi}{15}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Cálculo Integral II Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2020
29
10:28
Cálculo Integral II
Última edição: LdeP (Dom 29 Mar, 2020 10:35). Total de 3 vezes.
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Cardoso1979 
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Abr 2020
07
21:25
Re: Cálculo Integral II
Essa ficará para amanhã, bateu o cansaço , a bateria do celular irá descarregar e ainda demandará um tempo, pois irei preparar o desenho 
Até amanhã!
Até amanhã!
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Cardoso1979
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Abr 2020
08
19:18
Re: Cálculo Integral II
Observe
Solução:
Pelos dados do problema o sólido S está entre o cone z = √( x² + y² ) e o cilindro x² + y² = 4 e acima do plano z = 0 , em outras palavras, o sólido S está fora do cone ( z = √( x² + y² ) ) , dentro do cilindro ( x² + y² = 4 ) e acima do plano z = 0.
Graficamente:
A mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas é dada por
[tex3]\begin{cases}
x=\rho cos (\theta )sen (\phi ) \\
y=\rho sen (\theta )sen (\phi ) \\
z=\rho cos (\phi ) \\
x^2+y^2+z^2=\rho ^2 \\
dzdydx=\rho ^2sen(\phi )d\rho d\phi d\theta(JACOBIANO)
\end{cases}[/tex3]
em que [tex3]\rho ≥ 0[/tex3] , [tex3]\theta \in
[0,2π] [/tex3] e [tex3]\phi \in [0,π][/tex3] . Observe que [tex3]sen (\phi ) ≥ 0[/tex3] quando [tex3]\phi \in [0,π][/tex3] . Logo, a equação do cone em coordenadas esféricas pode ser escrita como [tex3]\rho cos (\phi )=\sqrt{\rho ^2sen^2(\phi )}[/tex3] → [tex3]\rho cos (\phi )=\rho sen(\phi )[/tex3] . A origem ( 0 , 0 , 0 ) pertence ao cone e é dada por [tex3]\rho =0[/tex3] , nos demais pontos , [tex3]\rho ≠ 0[/tex3] , donde [tex3]cos (\phi )=sen(\phi )[/tex3] → [tex3]tg(\phi)=1 [/tex3] → [tex3]\phi
=\frac{π}{4} [/tex3] , por outro lado , do plano z = 0 à cota ( eixo dos z ) o ângulo corresponde à [tex3]\phi =\frac{π}{2}[/tex3] . A equação do cilindro x² + y² = 4 em coordenadas esféricas pode ser escrita como [tex3]\rho ^2sen^2(\phi )=4[/tex3] → [tex3]\rho sen(\phi )=±2[/tex3] →
[tex3]\rho = ±\frac{2}{sen (\phi )}[/tex3] , como [tex3]\rho ≥ 0[/tex3] , então [tex3]\rho = \frac{2}{sen (\phi )}[/tex3] . A variação de [tex3]\theta [/tex3] vai de 0 a 2π ( volta completa ) , veja que a projeção do sólido S no plano xy é o disco x² + y² = 4, resultante da intersecção de z = √( x² + y² ) com o cilindro x² + y² = 4.
Portanto, o sólido S pode ser descrito em coordenadas esféricas :
[tex3]S=\{(\rho ,\phi ,\theta ):0≤ \rho ≤ \frac{2}{sen (\phi )} \ , \ \frac{π}{4} ≤ \phi ≤ \frac{π}{2}\ e \ 0 ≤ \theta ≤ 2π \}[/tex3]
Assim,
[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{2}{sen (\phi )}}\rho ^4sen(\phi ) \ d\rho d\phi d\theta =\frac{256π}{15}[/tex3]
Ficará como exercício para você o desenvolvimento da integral tripla acima
Obs.1
Intersecção do cone z = √( x² + y² ) com o cilindro x² + y² = 4 , resulta z = 2.
Obs.2
Da integral
[tex3]\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2 }}^{\sqrt{ 4-x^2}}\int_0^{\sqrt{x^2+y^2 }}(x^2+y^2+z^2)dzdydx[/tex3]
os limites de integração são :
- 2 ≤ x ≤ 2 , - √( 4 - x² ) ≤ y ≤ √( 4 - x² ) e 0 ≤ z ≤ √( x² + y² ).
Nota
Utilize a seguinte fórmula de recorrência para calcular a integral de [tex3]cossec (\phi )[/tex3] para n ≥ 2 :
[tex3]\int\limits_{}^{}cossec^n(\phi ) \ d\phi =-\frac{cossec^{n-2}(\phi ).cotg(\phi )}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\limits_{}^{} cossec^{n-2}(\phi ) \ d\phi [/tex3]
Bons estudos!
Solução:
Pelos dados do problema o sólido S está entre o cone z = √( x² + y² ) e o cilindro x² + y² = 4 e acima do plano z = 0 , em outras palavras, o sólido S está fora do cone ( z = √( x² + y² ) ) , dentro do cilindro ( x² + y² = 4 ) e acima do plano z = 0.
Graficamente:
- 15863805550233064091061112125863.jpg (259.78 KiB) Exibido 475 vezes
A mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas é dada por
[tex3]\begin{cases}
x=\rho cos (\theta )sen (\phi ) \\
y=\rho sen (\theta )sen (\phi ) \\
z=\rho cos (\phi ) \\
x^2+y^2+z^2=\rho ^2 \\
dzdydx=\rho ^2sen(\phi )d\rho d\phi d\theta(JACOBIANO)
\end{cases}[/tex3]
em que [tex3]\rho ≥ 0[/tex3] , [tex3]\theta \in
[0,2π] [/tex3] e [tex3]\phi \in [0,π][/tex3] . Observe que [tex3]sen (\phi ) ≥ 0[/tex3] quando [tex3]\phi \in [0,π][/tex3] . Logo, a equação do cone em coordenadas esféricas pode ser escrita como [tex3]\rho cos (\phi )=\sqrt{\rho ^2sen^2(\phi )}[/tex3] → [tex3]\rho cos (\phi )=\rho sen(\phi )[/tex3] . A origem ( 0 , 0 , 0 ) pertence ao cone e é dada por [tex3]\rho =0[/tex3] , nos demais pontos , [tex3]\rho ≠ 0[/tex3] , donde [tex3]cos (\phi )=sen(\phi )[/tex3] → [tex3]tg(\phi)=1 [/tex3] → [tex3]\phi
=\frac{π}{4} [/tex3] , por outro lado , do plano z = 0 à cota ( eixo dos z ) o ângulo corresponde à [tex3]\phi =\frac{π}{2}[/tex3] . A equação do cilindro x² + y² = 4 em coordenadas esféricas pode ser escrita como [tex3]\rho ^2sen^2(\phi )=4[/tex3] → [tex3]\rho sen(\phi )=±2[/tex3] →
[tex3]\rho = ±\frac{2}{sen (\phi )}[/tex3] , como [tex3]\rho ≥ 0[/tex3] , então [tex3]\rho = \frac{2}{sen (\phi )}[/tex3] . A variação de [tex3]\theta [/tex3] vai de 0 a 2π ( volta completa ) , veja que a projeção do sólido S no plano xy é o disco x² + y² = 4, resultante da intersecção de z = √( x² + y² ) com o cilindro x² + y² = 4.
Portanto, o sólido S pode ser descrito em coordenadas esféricas :
[tex3]S=\{(\rho ,\phi ,\theta ):0≤ \rho ≤ \frac{2}{sen (\phi )} \ , \ \frac{π}{4} ≤ \phi ≤ \frac{π}{2}\ e \ 0 ≤ \theta ≤ 2π \}[/tex3]
Assim,
[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{2}{sen (\phi )}}\rho ^4sen(\phi ) \ d\rho d\phi d\theta =\frac{256π}{15}[/tex3]
Ficará como exercício para você o desenvolvimento da integral tripla acima
Obs.1
Intersecção do cone z = √( x² + y² ) com o cilindro x² + y² = 4 , resulta z = 2.
Obs.2
Da integral
[tex3]\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2 }}^{\sqrt{ 4-x^2}}\int_0^{\sqrt{x^2+y^2 }}(x^2+y^2+z^2)dzdydx[/tex3]
os limites de integração são :
- 2 ≤ x ≤ 2 , - √( 4 - x² ) ≤ y ≤ √( 4 - x² ) e 0 ≤ z ≤ √( x² + y² ).
Nota
Utilize a seguinte fórmula de recorrência para calcular a integral de [tex3]cossec (\phi )[/tex3] para n ≥ 2 :
[tex3]\int\limits_{}^{}cossec^n(\phi ) \ d\phi =-\frac{cossec^{n-2}(\phi ).cotg(\phi )}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\limits_{}^{} cossec^{n-2}(\phi ) \ d\phi [/tex3]
Bons estudos!
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