Demonstre se baseando nos axiomas de Peano que m.n=n.m.
Sendo m,n ∈ ℕ
Ensino Superior ⇒ Demonstração nos ℕ Tópico resolvido
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deOliveira 
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Mar 2020
26
11:26
Re: Demonstração nos ℕ
[tex3]\begin{cases}m\cdot1=m\\m\cdot(n+1)=m\cdot n+m\end{cases}[/tex3]
Primeiro vamos mostrar que [tex3]\forall n\in\mathbb N[/tex3] temos [tex3]n\cdot1=1\cdot n[/tex3] .
Seja [tex3]S=\{n\in\mathbb N:n\cdot1=1\cdot n\}[/tex3]
[tex3]1\in S[/tex3] pois [tex3]1\cdot1=1=1\cdot1[/tex3] , por definição.
Hipótese de indução: Suponha que [tex3]k\in S[/tex3] , com [tex3]k\in\mathbb N[/tex3] . Ou seja, [tex3]k\cdot1=1\cdot k[/tex3]
[tex3]1\cdot(k+1)=1\cdot k+1[/tex3] , por hipótese de indução, [tex3]1\cdot(k+1)=k+1[/tex3] e, por definição, [tex3]k+1=(k+1)\cdot1[/tex3] , então temos que [tex3]1\cdot(k+1)=( k+1)\cdot 1[/tex3] .
Logo [tex3]k+1\in S[/tex3] .
E pelo axioma da indução temos que [tex3]S=\mathbb N[/tex3] .
Agora vamos mostrar que [tex3]m\cdot n=n\cdot m[/tex3] , [tex3]\forall m,n\in\mathbb N[/tex3] .
Considere o conjunto [tex3]S_m=\{n\in\mathbb N:m\cdot n=n\cdot m\}[/tex3] para um [tex3]m\in\mathbb N[/tex3] fixado arbitrariamente.
Pelo que provamos anteriormente temos que [tex3]1\in S_m[/tex3] .
Hipótese de indução: Suponha que [tex3]k\in\mathbb N[/tex3] está em [tex3]S_m[/tex3] , ou seja, [tex3]k\cdot m=m\cdot k[/tex3] .
[tex3]m\cdot(k+1)=m\cdot k+m[/tex3] , por hipótese de indução [tex3]m\cdot(k+1)=k\cdot m+1\cdot m=(k+1)\cdot m[/tex3] . Portanto [tex3]k+1\in S_m[/tex3] .
Então, pelo axioma da indução temos que [tex3]S_m=\mathbb N[/tex3] , e como [tex3]m[/tex3] foi escolhido de maneira arbitraria temos que vale para todo [tex3]m\in\mathbb N[/tex3] .
Primeiro vamos mostrar que [tex3]\forall n\in\mathbb N[/tex3] temos [tex3]n\cdot1=1\cdot n[/tex3] .
Seja [tex3]S=\{n\in\mathbb N:n\cdot1=1\cdot n\}[/tex3]
[tex3]1\in S[/tex3] pois [tex3]1\cdot1=1=1\cdot1[/tex3] , por definição.
Hipótese de indução: Suponha que [tex3]k\in S[/tex3] , com [tex3]k\in\mathbb N[/tex3] . Ou seja, [tex3]k\cdot1=1\cdot k[/tex3]
[tex3]1\cdot(k+1)=1\cdot k+1[/tex3] , por hipótese de indução, [tex3]1\cdot(k+1)=k+1[/tex3] e, por definição, [tex3]k+1=(k+1)\cdot1[/tex3] , então temos que [tex3]1\cdot(k+1)=( k+1)\cdot 1[/tex3] .
Logo [tex3]k+1\in S[/tex3] .
E pelo axioma da indução temos que [tex3]S=\mathbb N[/tex3] .
Agora vamos mostrar que [tex3]m\cdot n=n\cdot m[/tex3] , [tex3]\forall m,n\in\mathbb N[/tex3] .
Considere o conjunto [tex3]S_m=\{n\in\mathbb N:m\cdot n=n\cdot m\}[/tex3] para um [tex3]m\in\mathbb N[/tex3] fixado arbitrariamente.
Pelo que provamos anteriormente temos que [tex3]1\in S_m[/tex3] .
Hipótese de indução: Suponha que [tex3]k\in\mathbb N[/tex3] está em [tex3]S_m[/tex3] , ou seja, [tex3]k\cdot m=m\cdot k[/tex3] .
[tex3]m\cdot(k+1)=m\cdot k+m[/tex3] , por hipótese de indução [tex3]m\cdot(k+1)=k\cdot m+1\cdot m=(k+1)\cdot m[/tex3] . Portanto [tex3]k+1\in S_m[/tex3] .
Então, pelo axioma da indução temos que [tex3]S_m=\mathbb N[/tex3] , e como [tex3]m[/tex3] foi escolhido de maneira arbitraria temos que vale para todo [tex3]m\in\mathbb N[/tex3] .
Última edição: deOliveira (Qui 26 Mar, 2020 11:27). Total de 1 vez.
Saudações.
Mar 2020
27
08:47
Re: Demonstração nos ℕ
Realmente foi necessário passar m.k +m para k.m + 1.m e então obter (k+1) . m ? Poderia ser m.k + m = (k+1).m?
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deOliveira
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Mar 2020
27
09:16
Re: Demonstração nos ℕ
Sim, é necessário porque do contrário você só está dizendo que é igual sem mostrar o porquê.
O que você podeia fazer era colocar mk+m=km+m porque no primeiro passo já provamos que 1m=m1=m.
Essas coisas mais simples são bem difíceis de provar quando se está começando a estudar Matemática porque você as encara como óbvias. Então você tem meio que se desprender daquilo que você já sabe e provar praticamente tudo. Mas com o tempo e a prática você fica familiarizado com a coisa.
O que você podeia fazer era colocar mk+m=km+m porque no primeiro passo já provamos que 1m=m1=m.
Essas coisas mais simples são bem difíceis de provar quando se está começando a estudar Matemática porque você as encara como óbvias. Então você tem meio que se desprender daquilo que você já sabe e provar praticamente tudo. Mas com o tempo e a prática você fica familiarizado com a coisa.
Saudações.
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