Primeiro pra equação ser exata precisamos provar que as equações são do tipo:
[tex3]P (x,y) +Q (x,y) y' = 0[/tex3]
, onde
[tex3]\frac{∂P}{∂y} =\frac {∂Q} {∂x} [/tex3]
Se dividirmos ambos os membros por ([tex3]dx[/tex3]
), teremos:
[tex3]ye^{xy} + xe^{xy} y'[/tex3]
Ou seja:
[tex3]P = ye^{xy}[/tex3]
E
[tex3]Q = xe^{xy}[/tex3]
.
Derivando [tex3]P[/tex3]
e [tex3]Q[/tex3]
temos:
[tex3]\frac {∂P}{∂y} = e^{xy} + xye^{xy}[/tex3]
#regra do produto, #regra da cadeia
[tex3]\frac{∂Q}{∂x} = e^{xy} + xye^{xy} [/tex3]
Ou seja, a equação é exata.
Como [tex3]P (x,y) =\frac { ∂φ}{ ∂x}[/tex3]
E [tex3]Q (x,y) = \frac {∂φ}{∂y}[/tex3]
;
A resposta da equação exata é algo nesse sentido:
[tex3]φ(x,y) = C [/tex3]
Para isso precisamos integrar [tex3]P[/tex3]
em relação a [tex3]x[/tex3]
e [tex3]Q[/tex3]
em relação a [tex3]y[/tex3]
, vamos ver como fica:
[tex3]φ = ∫ P dx + k (y) [/tex3]
e
[tex3]φ = ∫ Q dy + h (x)[/tex3]
;
[tex3]φ = ∫ ye^{xy} dx + k (y) [/tex3]
, vendo [tex3]y[/tex3]
como uma constante temos o seguinye resultado:
[tex3]φ = \frac {y}{y} e^{xy} + k (y) [/tex3]
[tex3]φ = e^{xy} + k (y) [/tex3]
.
Se fizermos a integral de [tex3]P[/tex3]
,
[tex3]φ = ∫ Q dy + h (x) [/tex3]
[tex3]φ = e^{xy}+ k (y) [/tex3]
,
Como as duas deram mesmo resultado, nós chegamos a conclusão que:
[tex3]φ = e^{xy} = C [/tex3]
Claro, isso só confirma a resposta do nosso amigo acima, mas é bom termos vários métodos de resolução em nossas mãos, bons estudos.