Ensino Superior ⇒ Cálculo I - Continuidade de funções Tópico resolvido

[mcarvalho]

Mostre, usando a definição de continuidade, que [tex3]f(x)=x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x^2[/tex3]

é contínua em p=1.

OBS: a proposta original era essa, mas se puderem demonstrar mais genericamente, para uma função de segundo grau qualquer em um ponto p qualquer, eu agradeço.

[Tassandro]

Uma função é contínua em [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

se, e somente se,
[tex3]lim_{x\to a}f(x)=f(a)[/tex3]

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[tex3]lim_{x\to a}f(x)=f(a)[/tex3]

Como a função que estamos trabalhando trata-se de uma função do 2°grau, não há nenhuma restrição para que se calcule esse limite, basta substituir o valor de [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

na função.
Logo
[tex3]lim_{x\to1}x^2=1[/tex3]

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[tex3]lim_{x\to1}x^2=1[/tex3]

.
Portanto, a função [tex3]f(x)=x^2[/tex3]

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[tex3]f(x)=x^2[/tex3]

é contínua em [tex3]p=1[/tex3]

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[tex3]p=1[/tex3]

.
[tex3]\blacksquare[/tex3]

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[tex3]\blacksquare[/tex3]

[mcarvalho]

Tassandro, obrigado. Na realidade, eu estava buscando uma prova que envolvesse essa definição aqui:

Sejam [tex3]f:A\rightarrow R,p\in A[/tex3], com A um subconjunto de R, e R o conjunto dos números reais.

Dizemos que f é contínua em p se dado [tex3]\epsilon >0,\exists \delta>0\text{ tal que se }|x-p|<\delta,\text{temos }|f(x)-f(p)|<\epsilon[/tex3].

A definição e a proposta do exercício foram retiradas dessa vídeo-aula (aliás, muito boa) de Cálculo I da USP, disponiblizada no YouTube:

[mcarvalho]

Opa, alguém saberia?

[Tassandro]

mcarvalho , vamos lá!
Seja [tex3]ε>0[/tex3]

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[tex3]ε>0[/tex3]

, nós queremos achar um [tex3]δ>0[/tex3]

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[tex3]δ>0[/tex3]

tal que [tex3]|x-1|<δ\implies |x^2-1^2|<ε[/tex3]

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[tex3]|x-1|<δ\implies |x^2-1^2|<ε[/tex3]

Veja que [tex3]|x^2-1^2|=|x-1||x+1|[/tex3]

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[tex3]|x^2-1^2|=|x-1||x+1|[/tex3]

Suponha que [tex3]|x-1|<1[/tex3]

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[tex3]|x-1|<1[/tex3]

Usando o fato de que [tex3]|x|-|y|\leq |x-y|[/tex3]

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[tex3]|x|-|y|\leq |x-y|[/tex3]

[tex3]\implies |x|-|1|\leq|x-1|<1[/tex3]

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[tex3]\implies |x|-|1|\leq|x-1|<1[/tex3]

, pela nossa suposição inicial.
[tex3]\implies |x|<1+|1|[/tex3]

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[tex3]\implies |x|<1+|1|[/tex3]

Também temos que [tex3]|x+1|\leq|x|+|1|<2|1|+1[/tex3]

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[tex3]|x+1|\leq|x|+|1|<2|1|+1[/tex3]

Supondo que [tex3]|x-1|<\frac{ε}{2|1|+1}[/tex3]

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[tex3]|x-1|<\frac{ε}{2|1|+1}[/tex3]

Então [tex3]|x^2-1^2|<ε[/tex3]

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[tex3]|x^2-1^2|<ε[/tex3]

[tex3]\implies δ=\min\left(1,\frac{ε}{2|1|+1|}\right)[/tex3]

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[tex3]\implies δ=\min\left(1,\frac{ε}{2|1|+1|}\right)[/tex3]

Como [tex3]|x-1|<δ[/tex3]

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[tex3]|x-1|<δ[/tex3]

[tex3]\implies|x^2-1^2|=|x-1||x+1|<\frac{ε}{2|1|+1}\cdot(|x+1|)<\frac{ε}{2|1|+1}\cdot(2|1|+1)=ε[/tex3]

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[tex3]\implies|x^2-1^2|=|x-1||x+1|<\frac{ε}{2|1|+1}\cdot(|x+1|)<\frac{ε}{2|1|+1}\cdot(2|1|+1)=ε[/tex3]

Como existe um [tex3]δ[/tex3]

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[tex3]δ[/tex3]

tal que
[tex3]|x-1|<δ\implies |x^2-1^2|<ε[/tex3]

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[tex3]|x-1|<δ\implies |x^2-1^2|<ε[/tex3]

Assim, [tex3]f(x)=x^2[/tex3] é contínua em [tex3]p=1[/tex3].
[tex3]\blacksquare[/tex3]

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[tex3]\blacksquare[/tex3]

Recomendo a leitura:https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Defini% ... 5,_%CE%B4)

[mcarvalho]

Tassandro, obrigado novamente! Voltei a essa questão depois de algum tempo, acompanhando a minha disciplina de cálculo.

Você, ou qualquer outro user do fórum, saberia me dizer se a seguinte resolução também está correta?

Se [tex3]|x-1|<\delta[/tex3]

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[tex3]|x-1|<\delta[/tex3]

, devemos ter [tex3]|f(x)-f(1)<\epsilon\rightarrow |x^2-1|=|x+1|\cdot |x-1|<\epsilon[/tex3]

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[tex3]|f(x)-f(1)<\epsilon\rightarrow |x^2-1|=|x+1|\cdot |x-1|<\epsilon[/tex3]

Tomando [tex3]\delta=\frac{\epsilon}{|x+1|}[/tex3]

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[tex3]\delta=\frac{\epsilon}{|x+1|}[/tex3]

, vem [tex3]|x-1|<\delta\rightarrow |x-1|<\frac{\epsilon}{|x+1|}\therefore \boxed{|x+1|\cdot |x-1|<\epsilon}[/tex3]

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[tex3]|x-1|<\delta\rightarrow |x-1|<\frac{\epsilon}{|x+1|}\therefore \boxed{|x+1|\cdot |x-1|<\epsilon}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:24303)]

Tassandro, obrigado novamente! Voltei a essa questão depois de algum tempo, acompanhando a minha disciplina de cálculo.

Você, ou qualquer outro user do fórum, saberia me dizer se a seguinte resolução também está correta?

Tomando [tex3]\delta=\frac{\epsilon}{|x+1|}[/tex3]

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[tex3]\delta=\frac{\epsilon}{|x+1|}[/tex3]

[tex3]\delta[/tex3]

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[tex3]\delta[/tex3]

não pode nunca ficar em função de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

do contrário toda função seria contínua.
Essa resolução está errada.
Recomendo que leia com calma a resolução do Tassandro ou procure as questões semelhantes já postadas no fórum.
viewtopic.php?t=62069

[mcarvalho]

RenetGuenon, obrigado.